віднімання множин

Якщо задані два безлічі, то можна не тільки знайти їх перетин і об'єднання, а й відняти від одного безлічі інше. Результат віднімання називають різницею і визначають наступним чином.

Визначення. Різницею множин А і В називається множина, що містить ті і тільки ті елементи, які належать множині А і не належать множині В.

Різниця множин А і В позначають А \ В. Тоді, за визначенням, маємо: А \ В =.

Якщо уявити множини А і В за допомогою кіл Ейлера, то різниця А \ В відіб'ється заштрихованої областю (рис. 10).

У шкільному курсі математики найчастіше доводиться виконувати віднімання множин в разі, коли одне з них є підмножиною іншого, при цьому різниця множин А \ В називають доповненням множини В до безлічі А. і позначають символом В / А. а наочно зображують так, як представлено на малюнку 11.

Визначення. Нехай В з А. Доповненням безлічі В до безлічі А називається безліч, що містить ті і тільки ті елементи множини А, які не належать безлічі В.

Як вже було сказано, в разі коли В A, A \ B = В / А.

З'ясуємо, як знаходити доповнення підмножини на конкретних прикладах.

Якщо елементи множин А і В перераховані і В А, то, щоб знайти додаток безлічі В до безлічі А, досить перерахувати елементи, що належать безлічі А і не належать множині В. Так, якщо А =, а В =, то В / А = .

У тому випадку, коли вказані характеристичні властивості елементів множин А і В і відомо, що В А, то безліч В / А задають також за допомогою характеристичного властивості, загальний вигляд якого «х А і х В». Так, якщо А - безліч парних чисел, а В - множина чисел, кратних 4, то В / А - це безліч, що містить такі парні числа, які не діляться на 4. Наприклад, 22 В / А. тому 22 А (тобто воно парне) і 22 В (тобто воно не кратно 4).

Віднімання - це третя операція над множинами, з якими ми вже познайомилися. Нам відомо, що перетин множин сильніша операція, ніж об'єднання. А як бути з вирахуванням? Наприклад, який порядок виконання дій у виразі А \ В С? Домовилися вважати, що перетин - більш «сильна» операція, ніж віднімання. Тому порядок виконання дій у виразі А \ В З такою: спочатку знаходять перетин множин В і С, а потім отримане безліч віднімають з безлічі А.

Що стосується об'єднання і віднімання множин, то їх вважають рівноправними. Наприклад, у виразі А \ В С треба спочатку виконати віднімання (з А відняти В), а потім отримане безліч об'єднати з безліччю С.

Віднімання множин має низку властивостей. Зокрема, можна довести, що для будь-яких множин А, В і С справедливі такі рівності:

2) (А В) \ С = (А \ С) (В \ С);

3) (А \ В) С = (А С) \ (В С);

4) А \ (В С) = (А \ В) (А \ С);

5) А \ (В С) + (А \ В) (А \ С).