Векторний добуток векторів заданих координатами змішане твір - рішення задач,

Векторний добуток векторів заданих координатами Змішане твір

Визначення. Векторним твором вектора а на вектор b називається вектор, що позначається символом [ «, Ь] (або л х Ь), такий, що 1) довжина вектора [а, b] дорівнює (р, де у - кут між векторами а і b ( рис.31); 2) вектор [а, Ь) перпендикулярний векторах a і b, тобто. перпендикулярний до площини цих векторів; 3) вектор [а, Ь] спрямований так, що з кінця цього вектора найкоротший поворот від а до b видно, що відбувається проти годинникової стрілки (рис. 32). Мал. 32 мал.31 Іншими словами, вектори a, b і [а, Ь) утворюють праву трійку векторів, тобто розташовані так, як великий, вказівний і середній пальці правої руки. У разі, якщо вектори а і b колінеарні, будемо вважати, що [а, Ь] = 0. За визначенням довжина векторного твори чисельно дорівнює площі Sa паралелограма (рис. 33), побудованого на перемножуєте векторах а й b як на сторонах: 6.1 . Властивості векторного твори 1. Векторний добуток одно нульового вектору тоді і толькотогда, коли принаймні один з перемножуєте векторів є нульовим або коли ці вектори колінеарні (якщо вектори а і b колінеарні, то кут між ними дорівнює або 0, або 7 г). Це легко отримати з того, що Якщо вважати нульовий вектор коллінсарним будь-якому вектору, то умова коллинеарности векторів а і b можна висловити так 2. Векторний добуток антикоммутативність, т. Е. Завжди. Справді, вектори (а, Ь) і [li, «] мають однакову довжину і колінеарні. Напрями ж цих векторів протилежні, так як з кінця вектора [а, Ь] найкоротший поворот від а до b буде видно, що відбувається проти годинникової стрілки, а з кінця вектора [Ь, а] - за годинниковою стрілкою (рис. 34). 3. Векторний добуток має розподільчим властивістю по відношенню до складання 4. Числовий множник Л можна виносити за знак векторного твори 6.2. Векторний добуток векторів, заданих координатами Нехай вектори а і Ь задані своїми координатами в базисі. Користуючись розподільним властивістю векторного твори, знаходимо Векторний добуток векторів заданих координатами. Змішане твір. Випишемо векторні твори координатних ортов (рис. 35): Тому для векторного добутку векторів а і b отримуємо з формули (3) такий вираз Формулу (4) можна записати в символічній, легко запам'ятовується формі, якщо скористатися визначником 3-го порядку: Розкладаючи цей визначник за елементами 1-го рядка, отримаємо (4). Приклади. 1. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах Шукана площа Тому знаходимо = звідки 2. Знайти площу трикутника (рис. 36). Ясно, що площа б'д трикутника ВАТ дорівнює половині площі S паралелограма Про АС В. Обчислюючи векторний добуток (а, Ь | векторів а = OA і b = о', отримуємо Звідси Зауваження. Векторное твір не асоціативно, тобто рівність ( (а, Ь), с) = [а, | Ь, с)) в обшем випадку невірно. Наприклад, при а = ss j маємо § 7. Змішане твір векторів Нехай маємо три вектора а, Ь і с. Перемножимо вектори а і 1> вскторно. В результаті отримаємо вектор [а, 1>]. Помножимо його скалярно на вектор з: (до Ь), с). Число ([а, Ь], е) називається змішаним твором векторів а, Ь. з і позначається символом (а, 1), е). 7.1. Геометричний сенс змішаного твори Відкладемо вектори а, b і з отобшей точки О (рис. 37). Якщо всі чотири точки О, А, В, С лежать в одній площині (вектори a, b і з називаються в цьому випадку компланарними), то мішаний добуток ([а, Ь], с) = 0. Це випливає з того, що вектор [а, Ь | перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори а і 1 », а значить, і вектору с. / Якщо ж точки О, А, В, С не лежать в одній пло-кістки (вектори a, b і з некомпланарних), побудуємо на ребрах OA, OB і ОС паралелепіпед (рис. 38 а). За визначенням векторного твори маємо (a, b) = So с, де So - площа паралелограма OADB, а з - одиничний вектор, перпендикулярний до векторів a і b і такий, що трійка а, b, с - права, тобто вектори a, b і з розташовані відповідно як великий, вказівний і середній пальці правої руки (рис. 38 б). Помноживши обидві частини останнього рівності праворуч скалярно на вектор с, отримуємо, що Векторний добуток векторів заданих координатами. Змішане твір. Число РГС з дорівнює висоті h побудованого паралелепіпеда, взятого зі знаком «+», якщо кут між векторами з і з гострий (трійка а, b, с - права), і зі знаком «-», якщо кут - тупий (трійка а, Ь, с - ліва), так що Тим самим, мішаний добуток векторів а, Ь і з дорівнює обсягу V паралелепіпеда, побудованого на цих векторах як на ребрах, якщо трійка а, видання, з - права, і -V, якщо трійка а , Ь, с - ліва. Виходячи з геометричного сенсу змішаного твори, можна зробити висновок, що, перемножая тс ж вектори a, b і з в будь-якому іншому порядку, ми завжди будемо отримувати або +7, або -К. Знак ви- Рис. 38 ведення залежатиме лише від того, яку трійку утворюють перемножуємо вектори - праву або ліву. Якщо вектори а, b, с утворюють праву трійку, то правими будуть також трійки Ь, с, а й з, а, Ь. У той же час всі три трійки Ь, а, з; а, з, Ь і с, Ь, а - ліві. Тим самим, (а, Ь, с) = (b, с, а) = (с, а, Ь) = - (Ь, а, с) = - (а, с, Ь) = - (с, Ь , а). Ешераз підкреслимо, що мішаний добуток векторів дорівнює нулютогдаі тільки тоді, коли перемножуємо вектори а, b, с компланарність: 7.2. Змішане твір в координатах Нехай вектори а, b, с задані своїми координатами в базисі i, j, k: а =, b = z2>, c =. Знайдемо вираз для їх змішаного твори (а, Ь, с). Маємо мішаний добуток векторів, заданнихсвоімі координатами в базисі i, J, до, так само определителю третього порядку, рядки якого складені відповідно з координат першого, другого і третього з перемножуєте векторів. Необхідна і достатня умова компланарності векторів а у \, Z |>, b =, з = запишеться в наступному вигляді У | z, аг2 у2 -2 = 0. Уз Приклад. Перевірити, компланарність вектори "=, Ь =, з =. Розглянуті вектори будуть компланарність або некомпланарних в залежності від того, буде дорівнює нулю чи ні визначник Розкладаючи його за елементами першого рядка, отримаємо Д = 7- 6- 4- 15 + 6-3 = 0 ^ - вектори n, b, с компланарність. 7.3. Подвійне векторний добуток подвійний векторний добуток [а, [b, с]] є вектор, перпендикулярний до векторів а і [b, с]. Тому він лежить в площині векторів b і с і може бути розкладений за цими векторами. Можна показати, що справедлива формула [а, [!>, З]] = Ь (а, е) - з (а, ред). Вправи 1. Три вектора АВ = с, Ж? = Про та СА = b служать сторонами трикутника. Висловити через a, b і з вектори, що збігаються з медианами AM, DN, CP трикутника. 2. Яким умовою повинні бути пов'язані вектори р і q, щоб вектор р + q ділив кут між ними навпіл? Передбачається, що всі три вектора віднесені до загального початку. 3. Обчисліть довжину діагоналей паралелограма, побудованого на векторах а = 5р + 2q і b = р - 3q, якщо відомо, що | р | = 2v / 2, | q | = 3 H- (p7ci) = f. 4. Позначивши через а і b боку ромба, що виходять із загальної вершини, доведіть, що діагоналі ромба взаємно перпендикулярні. 5. Обчисліть скалярний добуток векторів а = 4i + 7j + 3k і b = 31 - 5j + k. 6. Знайдіть одиничний вектор а0, паралельний вектору а =. 7. Знайдіть проекцію вектора a = l + j- kHa вектор b = 21 - j - 3k. 8. Знайдіть косинус кута між векторами IS «ж, якщо А (-4,0,4), В (-1,6,7), С (1,10.9). 9. Знайдіть одиничний вектор р °, одночасно перпендикулярний вектору а = і осі Ох. 10. Обчисліть синус кута між діагоналями параллелофамма, побудованого на векторах a = 2i + J-k, b = i-3j + k як на сторонах. Обчисліть висоту h паралелепіпеда, побудованого на векторах а = 31 + 2j - 5k, b = i- j + 4knc = i-3j + до, якщо за основу взято паралелограм, побудований на векторах а й I). відповіді