Урок «руху

Короткий опис документа:

ТЕКСТОВА Розшифровка УРОКУ:

Ми починаємо знайомство з поняттям рух в просторі.

В курсі планіметрії ви вже познайомилися з поняттям руху - це таке відображення площині, при якому зберігається відстань між точками.

Кажуть, що поставлено відображення простору на себе, якщо кожній точці К простору поставлена ​​у відповідність деяка точка К1, причому будь-яка точка К1 простору виявилася поставленої в відповідність будь-якій точці К.

Прийнято говорити, що при такому відображенні точка К відображається (переходить) в точку К1.

Відзначимо, що особливу роль в геометрії грають відображення простору на себе, що зберігає відстань між точками. Вони називаються рухами простору.

Таким чином, якщо при русі простору точки А і В переходять (відображаються) в точки А1 і В1, то АВ = А1В1.

Одним із прикладів руху служить центральна симетрія - це таке відображення простору на себе, при якому будь-яка точка К переходить в симетричну їй точку К1, щодо центру симетрії точки В.

1. Позначимо буквою Про центр симетрії і введемо декартову (прямокутну) систему координат Оxyz з початком в точці О.

2.Найдіте зв'язок між точками М (x; y; z) і M1 (x1; y1; z1), які симетричні відносно точки О.

У разі, якщо М не збігається з центром симетрії О, то Про є серединою відрізка ММ1.Тогда за формулами координат середини відрізка знайдемо:

x + x1 = 0; y + y1 = 0; z + z1 = 0

Дані формули вірні і в разі, коли М і Про збігаються (поясніть самостійно).

3.Рассмотрім будь-які дві точки: А - з координатами (x1; y1; z1) і В - з координатами (x2; y2; z2) і доведемо, що відстань між точками А1 і В1, які їм симетричні, так само АВ.

За доведеним вище, маємо, що точки А1 і В1 мають координати: А1 (-x1; -y1; -z1) і В1 (-x2; -y2; -z2).

За формулою відстаней між двома точками, знайдемо:

Очевидно, що АВ = A1B1, тобто відстань між точками збережено.

Таким чином, ми довели, що центральна симетрія є рухом.

Застосуємо отримані знання при вирішенні завдань.

Довести, що при центральній симетрії пряма, що не проходить через центр симетрії, відображається на паралельну їй пряму.

1. Розглянемо центральну симетрію простору з центром в точці О і довільну пряму АВ, що не проходить через цю точку.

Пряма АВ і точка О визначають єдину площину α. Точки А і В буде запропоновано після центральної симетрії в точки А1 і В1, які так само лежать в площині α. А значить, і вся пряма А1 В1 лежить в площині α.

2. Доведемо, що прямі АВ і А1В1 паралельні.

Так як симетрія центральна, то ОА = ОА1, ОВ = ОВ1, кут АОВ дорівнює куту А1ОВ1 - як вертикальні, значить трикутник АОВ дорівнює трикутнику А1ОВ1 за першою ознакою рівності трикутників.

З рівності трикутників випливає, що кут АВО дорівнює куту А1В1, тобто рівні навхрест лежачі кути при перетині прямих АВ і А1В1 січною ВВ1, отже прямі АВ і А1В1 паралельні.

3. Доведемо тепер, що при центральній симетрії з центром в точці О пряма АВ відображається на пряму А1В1. Для цього потрібно довести, що довільна точка М прямий АВ переходить в деяку точку М1 прямої А1В1 і навпаки: довільна точка прямої А1В1 симетрична деякій точці прямої АВ.

Візьмемо на прямій АВ будь-яку точку М, відмінну від А, і проведемо пряму МО. Ця пряма перетне пряму А1В1 в якійсь точці М1.

Симетрія центральна, значить АТ = ОА1; кут МОА дорівнює куту М1ОА1, як вертикальні; кут МАО дорівнює куту М1А1, як навхрест лежачі при паралельних прямих АВ і А1В1 та січної ВВ1. Значить, трикутники МАО і М1А1 рівні за другою ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників випливає, що відрізки МО і ОМ1 рівні, а це значить, що точка М переходить в точку М1. що лежить на прямій А1В1 при симетрії відносно точки О.

Аналогічно доводиться зворотне: будь-яка точка М1 прямої А1В1 симетрична деякій точці М прямий АВ щодо точки О.

Отже, при симетрії з центром Про пряма, що не проходить через точку О, відображається на паралельну пряму.

Сьогодні ми показали, що відображення простору на себе, що зберігає відстань між точками, є рухом, а так же переконалися, що при русі відрізок переходить в рівний йому відрізок, пряма - в пряму, площину - в площину. Прикладом цьому служить центральна симетрія.