У продовженні або в продовження, як правильно
в українській мові існують обидва слова: «в продовженні» і «в продовження». Вибір правильного написання залежить від того, якою частиною мови є це слово.
Іменник «продовження» - змінне слово. Воно закінчується на -і (закінчення-е) і тому має закінчення -і в місцевому відмінку на відміну від традиційного закінчення -е іменників другої відміни. порівняємо:
У продовженні роману Новомосковсктель дізнається про подальшу долю героїв.
До слова «в продовженні" задається відмінковий питання. Воно є членом пропозиції. Отже, це іменник у формі місцевого відмінка з закінченням-і.
Від цього іменника може бути утворений похідний прийменник. який пишеться з буквою «е» в кінці.
В продовження дороги він зберігав вперте мовчання.
Зберігав мовчання коли? в продовження дороги.
Слово «в продовження» поодинці не є членом пропозиції, а використовується разом з іменником, позначаючи часовий проміжок. Отже, це похідний прийменник.

В продовження нашої розмови направляю вам своє резюме.