Точковий та інтервальний прогнози для моделі парної регресії

Одне із завдань економетричного моделювання полягає в прогнозуванні поведінки досліджуваного явища або процесу в майбутньому. У більшості випадків це завдання вирішується на основі регресійних моделей, за допомогою яких можна спрогнозувати поведінку результативною змінною в залежності від поведінки факторних змінних.

Розглянемо докладніше процес прогнозування для лінійної моделі парної регресії.

Точковий прогноз результативною переменнойу на основі лінійної моделі парної регресії при заданому значенні факторної змінної хm буде здійснюватися за формулою:

Точковий прогноз результативною змінною ym з довірчою ймовірністю γ або (1-а) потрапляє в інтервал прогнозу, який визначається як:

t - t-критерій Стьюдента, який визначається в залежності від заданого рівня значущості a і числа ступенів свободи (n-2) для лінійної моделі парної регресії;

ω (m) - величина помилки прогнозу в точці m.

Для лінійної моделі парної регресії величина помилки прогнозу визначається за формулою:

де S2 (ε) - Незміщена Оцінка дисперсії випадкової помилки лінійної моделі парної регресії.

Розглянемо процес визначення величини помилки прогнозу β (m).

Припустимо, що на основі вибіркових даних була побудована лінійна модель парної регресії виду:

Факторна змінна х в даній моделі представлена ​​в з центром вигляді.

Завдання полягає в розрахунку прогнозу результативної змінної у при заданому значенні факторної змінної хm, т. Е.

Математичне сподівання результативною змінної у в точці m розраховується за формулою:

Дисперсія результативної змінної у в точці m розраховується за формулою:

де D (β0) - дисперсія оцінки параметра β0 лінійної моделі парної регресії, яка розраховується за формулою:

Отже, точкова оцінка прогнозу результативної змінної у в точці m має нормальний закон розподілу з математичним очікуванням

Якщо в формулу дисперсії результативної змінної у в точці m замість дисперсії G2 підставити її вибіркову оцінку S2, то отримаємо довірчий інтервал для прогнозу результативної змінної у при заданому значенні факторної змінної хm:

де вибіркова оцінка генеральної дисперсії S2 для лінійної моделі парної регресії розраховується за формулою:

В цьому випадку прогнозний інтервал можна перетворити до вигляду:

що й потрібно було довести.