теорія порівнянь

Методи теорії порівнянь широко застосовуються в різних областях науки, техніки, економіки. Цей розділ алгебри займає важливе місце в вузівській освіті математиків, фізиків та інших фахівців, проте дуже часто вивчається недостатньо глибоко. Завдання даної курсової роботи - вивчити теоретичний матеріал і розглянути ряд основоположних завдань по одному з основних розділів теорії чисел: порівняння першого ступеня з однієї і декількома змінними, порівняння вищих ступенів і т.д.

Основна частина курсової роботи складається з трьох розділів. У першому розділі розкриваються основні поняття теорії порівнянь, такі як порівняння в кільці цілих чисел, основні теореми і властивості порівнянь. У другому розділі розглядаються порівняння першого ступеня з однією змінною. Далі розглядаються порівняння вищих ступенів і системи порівнянь першого ступеня. У додатку наводяться приклади розв'язання текстових задач, які зводяться до невизначеним рівнянням першого порядку і вирішуються за допомогою порівнянь.

Виклад теоретичного матеріалу ілюструється великою кількістю прикладів з докладними рішеннями.

У роботі наводиться список літератури по темі.

1.1 Порівняння в кільці цілих чисел

Поняття порівняння було введено вперше Гауссом. Незважаючи на свою уявну простоту, це поняття дуже важливо і має багато додатків.

Візьмемо довільне фіксоване натуральне число

і будемо розглядати залишки при діленні на m різних цілих чисел. При розгляді властивостей цих залишків і творі операцій над ними зручно ввести поняття так званого порівняння по модулю.

Визначення. Цілі числа

називаються порівнянними за модулем

еквівалентні. Теорема 2 доведена.

Зауважимо, з доведеної теореми, зокрема, випливає, що порівняння заміниться еквівалентним, якщо відкинути (або додати) доданок з коефіцієнтами, які діляться на модуль.

Переходячи від порівнянь 1-го ступеня до порівнянь більш високих ступенів, доцільно спочатку розглянути той випадок, коли модуль - просте число. В цьому випадку є ряд дуже важливих теорем, які, взагалі кажучи, невірні для складових модулів. Разом з тим теорія порівнянь по простому модулю є основою, на якій будується вивчення порівнянь по складеному модулю.

У всій цій главі буквою

будемо позначати модуль, який представляє собою просте число.

може бути замінено еквівалентним порівнянням з коефіцієнтом при старшому члені, що дорівнює одиниці.

Доведення. Розглянемо порівняння 1-го ступеня

то і порівняння має рішення. знайдемо число

, задовольняє цій порівнянні, тобто

буде замінено на

Проробивши такі операції для всіх доданків по відношенню до кожного з невідомих, що входить з показником

, одержуємо порівняння, еквівалентну початкового, в якому ступінь по відношенню до кожного невідомому буде не більше ніж

.

Теорема 2. Якщо порівняння

ступінь якого по кожному невідомому менше ніж

, задовольняється при всіх цілих

, то всі коефіцієнти многочлена

.

Доведення. Проведемо індукцію по числу невідомих

твердження теореми вірно. Припустимо, що твердження теореми вірно при

, і візьмемо довільне тотожне порівняння

, ступінь якого по кожному невідомому менше ніж

найбільший показник ступеня невідомого

, то порівняння можна представити у вигляді:

многочлени з цілими коефіцієнтами, ступеня яких по кожному невідомому менше ніж

підставити будь-які цілі числа, то отримаємо тотожне порівняння з невідомої

. Всі коефіцієнти цього порівняння:

повинні за будь-яких значеннях

. Оскільки згідно з припущенням для многочленів від

аргументів твердження теореми вірно, все коефіцієнти цих многочленів, а отже, і многочлена

повинні ділитися на

.

Відповідно до принципу повної математичної індукції твердження теореми вірно для будь-якого числа аргументів.

4.1 Системи порівнянь першого ступеня

Систему порівнянь першого ступеня з одним і тим же невідомим, але з різними модулями, запишемо в загальному вигляді так: