Теорія ймовірностей введення

Практика вивчення випадкових явищ показує, що хоча результати окремих спостережень, навіть проведених в однакових умовах, можуть сильно відрізнятися, в той же час середні результати для досить великого числа спостережень стійкі і слабо залежать від результатів окремих спостережень.

Теоретичним обґрунтуванням цього чудового властивості випадкових явищ є закон великих чисел. Назвою "закон великих чисел" об'єднана група теорем, що встановлюють стійкість середніх результатів великої кількості випадкових явищ і пояснюють причину цієї стійкості.

Найпростіша форма закону великих чисел, і історично перша теорема цього розділу - теорема Бернуллі. яка стверджує, що якщо ймовірність події однакова у всіх випробуваннях, то зі збільшенням числа випробувань частота події прагне до ймовірності події та перестає бути випадковою.

Теорема Пуассона стверджує, що частота події в серії незалежних випробувань прагне до середнього арифметичного його ймовірностей і перестає бути випадковою.

Граничні теореми теорії ймовірностей, теореми Муавра-Лапласа пояснюють природу стійкості частоти появ події. Природа ця полягає в тому, що граничним розподілом числа появ події при необмеженому зростанні числа випробувань (якщо ймовірність події у всіх випробуваннях однакова) є нормальний розподіл.

Центральна гранична теорема пояснює широке поширення нормального закону розподілу. Теорема стверджує, що завжди, коли випадкова величина утворюється в результаті складання великого числа незалежних випадкових величин з кінцевими дисперсіями, закон розподілу цієї випадкової величини виявляється практично нормальним законом.

Теорема, наведена нижче під назвою "Закон великих чисел" стверджує, що за певних, досить загальних, умовах, зі збільшенням числа випадкових величин їх середнє арифметичне прагне до середнього арифметичного математичних очікувань і перестає бути випадковим.

Теорема Ляпунова пояснює широке поширення нормального закону розподілу і пояснює механізм його утворення. Теорема дозволяє стверджувати, що завжди, коли випадкова величина утворюється в результаті складання великого числа незалежних випадкових величин, дисперсії яких малі в порівнянні з дисперсією суми, закон розподілу цієї випадкової величини виявляється практично нормальним законом. А оскільки випадкові величини завжди породжуються безліччю причин і найчастіше жодна з них не має дисперсії, яку можна порівняти з дисперсією самої випадкової величини, то більшість можна зустріти на практиці випадкових величин підпорядковане нормальному закону розподілу.

В основі якісних і кількісних тверджень закону великих чисел лежить нерівність Чебишева. Воно визначає верхню межу ймовірності того, що відхилення значення випадкової величини від її математичного очікування більше деякого заданого числа. Чудово, що нерівність Чебишева дає оцінку ймовірності події для випадкової величини, розподіл якої невідомо, відомі лише її математичне сподівання і дисперсія.

Нерівність Чебишева. Якщо випадкова величина x має дисперсію, то для будь-якого e> 0 справедлива нерівність, де M x і D x - математичне очікування і дисперсія випадкової величини x.

Теорема Бернуллі. Нехай m n - число успіхів в n випробуваннях Бернуллі і p - ймовірність успіху в окремому випробуванні. Тоді при будь-якому e> 0 справедливо.

Центральна гранична теорема. Якщо випадкові величини x 1. x 2. ..., x n. ... попарно незалежні, однаково розподілені і мають кінцеву дисперсію, то при n ® рівномірно по x (-,)

Закон великих чисел. Якщо випадкові величини x 1. x 2. ..., x n. ... попарно незалежні і, то для будь-якого e> 0

Тоді = Ф (b) - Ф (a) для будь-яких дійсних чисел a і b. де Ф (x) - функція розподілу нормального закону.