Теорема про базисному мінорі матриці

У довільній матриці

кожен стовпець (рядок) є лінійною комбінацією стовпців (рядків), в яких розташований базисний мінор.

У матриці мінор порядку називається базисним. якщо він не дорівнює нулю, а все мінори порядку і вище дорівнюють нулю або не існує зовсім, тобто збігається з меншим з чисел або.

Слідство. Визначник -го порядку дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки (стовпці) лінійно залежні.

Теорема про базисному мінорі матриці служить для доказу таких важливих теорем:

Теорема 1. лінійно незалежні рядки (стовпці) матриці, кількість яких одно рангу матриці, є базисними рядками (стовпцями).

Теорема 2. (Теорема про ранг матриці). Для будь-якої матриці її ранг дорівнює максимальній кількості її лінійно незалежних рядків (стовпців).

Приклади розв'язання задач

Знайти всі базисні мінори матриці і визначити її ранг.

Перетворимо задану матрицю за допомогою елементарних перетворень. До другої рядку додамо перший рядок, інші рядки залишимо без зміни

До третьому рядку додамо другу, помножену на, інші рядки залишимо без зміни

Таким чином, всі мінори третього порядку будуть дорівнюють нулю, так будуть містити нульову рядок.

Випишемо всі мінори другого порядку

Мінори другого порядку, що містять елементи третього рядка, так само все будуть нульовими. Таким чином, і базисними будуть все ненульові мінори другого порядку.