Теорема Гаусса, це фізика

Експериментально встановлені закон Кулона і принцип суперпозиції дозволяють повністю описати електростатичне поле заданої системи зарядів у вакуумі. Однак, властивості електростатичного поля можна виразити в іншій, більш загальній формі, не вдаючись до подання про кулонівському полі точкового заряду.

Введемо нову фізичну величину, що характеризує електричне поле - потік φ вектора напруженості електричного поля. Нехай в просторі, де створено електричне поле, розташована деяка досить мала площадка δS. Твір модуля вектора на площу δS і на косинус кута α між вектором і нормаллю до майданчика називається елементарним потоком вектора напруженості через майданчик δS (рис. 1.3.1):

де En - модуль нормальної складової поля

До визначення елементарного потоку δφ

Розглянемо тепер деяку довільну замкнуту поверхню S. Якщо розбити цю поверхню на малі майданчики δSi. визначити елементарні потоки δφi поля через ці малі майданчики, а потім їх підсумувати, то в результаті ми отримаємо потік φ вектора через замкнуту поверхню S (рис. 1.3.2):

У разі замкнутої поверхні завжди вибирається зовнішня нормаль.

Обчислення потоку Ф через довільну замкнуту поверхню S

Теорема Гаусса стверджує:

Потік вектора напруженості електростатичного полячерез довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, розташованих усередині цієї поверхні, поділеній на електричну постійну ε0.

Для доказу розглянемо спочатку сферичну поверхню S. в центрі якої знаходиться точковий заряд q. Електричне поле в будь-якій точці сфери перпендикулярно до її поверхні і дорівнює по модулю

де R - радіус сфери. Потік φ через сферичну поверхню буде дорівнює добутку E на площу сфери 4πR 2. Отже,

Оточимо тепер точковий заряд довільній замкнутої поверхнею S і розглянемо допоміжну сферу радіуса R0 (рис. 1.3.3).

Потік електричного поля точкового заряду через довільну поверхню S. навколишнє заряд

Розглянемо конус з малим тілесним кутом δω при вершині. Цей конус виділить на сфері малу площадку δS0. а на поверхні S - майданчик δS. Елементарні потоки δφ0 і δφ через ці майданчики однакові. дійсно,

Тут δS '= δS cos α - майданчик, що виділяється конусом з тілесним кутом δω на поверхні сфери радіуса n.

Так як . a, отже Звідси випливає, що повний потік електричного поля точкового заряду через довільну поверхню, що охоплює заряд, дорівнює потоку φ0 через поверхню допоміжної сфери:

Аналогічним чином можна показати, що, якщо замкнута поверхня S не охоплюють точкового заряду q. то потік φ = 0. Такий випадок зображений на рис. 1.3.2. Всі силові лінії електричного поля точкового заряду пронизують замкнуту поверхню S наскрізь. Всередині поверхні S зарядів немає, тому в цій області силові лінії не обривати і не зароджуються.

Узагальнення теореми Гаусса на випадок довільного розподілу зарядів випливає з принципу суперпозиції. Поле будь-якого розподілу зарядів можна уявити як векторну суму електричних полів точкових зарядів. Потік φ системи зарядів через довільну замкнуту поверхню S буде складатися з потоків φi електричних полів окремих зарядів. Якщо заряд qi опинився всередині поверхні S. то він дає внесок в потік, рівний якщо ж цей заряд виявився зовні поверхні, то внесок його електричного поля в потік буде дорівнює нулю.

Таким чином, теорема Гаусса доведена.

Теорема Гаусса є наслідком закону Кулона і принципу суперпозиції. Але якщо прийняти твердження, що міститься в цій теоремі, за первісну аксіому, то її наслідком виявиться закон Кулона. Тому теорему Гаусса іноді називають альтернативної формулюванням закону Кулона.

Використовуючи теорему Гаусса, можна в ряді випадків легко обчислити напруженість електричного поля навколо зарядженого тіла, якщо заданий розподіл зарядів володіє якою-небудь симетрією і загальну структуру поля можна заздалегідь вгадати.

Прикладом може служити завдання про обчислення поля тонкостінного полого однорідно зарядженого довгого циліндра радіуса R. Це завдання має осьову симетрію. З міркувань симетрії електричне поле повинно бути направлено по радіусу. Тому для застосування теореми Гаусса доцільно вибрати замкнуту поверхню S у вигляді співвісного циліндра деякого радіуса r і довжини l. закритого з обох торців (рис. 1.3.4).