Тема уроку ірраціональні рівняння
Важливим моментом у підготовці до підсумкової атестації є організація узагальнюючого повторення. Вміння розв'язувати рівняння відпрацьовується протягом усього шкільного курсу математики. Ірраціональні рівняння, як правило, викликають труднощі, тому вимагають доброго знання теоретичного матеріалу, вміння проводити дослідження різних ситуацій.
Більшість помилок пов'язано з формальним і поверхневим засвоєнням учнями основних понять і методів вирішення ірраціональних рівнянь. У більшості учнів єдиним стійким знанням є застосування методу зведення обох частин рівняння в одну і ту ж ступінь, при цьому часто забувають робити перевірку знайдених коренів. Для багатьох цей метод є єдиним.
Пропонований матеріал дозволяє такі:- відшкодувати відсутність єдиного узагальнення по даній темі в курсі алгебри 11-го класу;
- повторити основні теоретичні поняття;
- закріпити основні способи вирішення ірраціональних рівнянь;
- закріпити нестандартні способи вирішення ірраціональних рівнянь.
Визначення. Рівняння з однією змінною f (x) = g (x) називається ірраціональним, якщо хоча б одна функція f (x) або g (x) містить змінну x під знаком радикала.
При вирішенні ірраціональних рівнянь використовують тотожні перетворення, застосовують метод зведення обох частин рівняння в одну і ту ж ступінь, а також метод введення нових змінних.
Теорема. Якщо звести обидві частини рівняння f (x) = g (x) в натуральну ступінь n. то отримане рівняння f n (x) = g n (x) є наслідком даного рівняння.
Основними причинами появи сторонніх коренів є зведення обох частин рівняння в одну і ту ж парну ступінь, розширення області визначення і ін. З цих причин необхідною частиною рішення ірраціонального рівняння є перевірка, або використання області визначення заданого рівняння.
1. Метод зведення обох частин рівняння в одну і ту ж ступінь.
Приклад 1. Вирішити рівняння
Рішення. Звівши обидві частини рівняння в квадрат, отримаємо
Зробивши перевірку, переконуємося, що обидва вони є його корінням. Це рівняння є прикладом того, що зведення в квадрат вихідного рівняння не завжди призводить до появи сторонніх коренів.
Приклад 2. Вирішити рівняння
Рішення. Знайдемо область визначення рівняння: [2; ?). Зведено обидві частини рівняння в квадрат, усамітнитися потім отриманий радикал і зведемо ще раз в квадрат. Отримаємо коріння рівняння
Після перевірки отримаємо корінь рівняння
Приклад 3. Розв'язати рівняння
Рішення. Рівняння перепишемо так: Зведено обидві частини в квадрат, отримаємо
x = 2 перевірити неважко, а перевіряти громіздко. Однак зауважимо, що при цьому значенні негативно. Значить, не є рішенням рівняння.
2. Метод введення нових змінних.
Приклад 4. Вирішити рівняння
Рішення. Помноживши обидві частини рівняння на 2, отримаємо:
Приклад 5. Розв'язати рівняння:
Рішення. позначимо тоді
Складемо систему рівнянь:
Рішенням системи є (0; 2) і (2; 0). Таким чином, рішення даного рівняння звелося до вирішення наступної сукупності систем рівнянь:
Вирішивши цю сукупність, знаходимо
3. Штучні прийоми рішення ірраціональних рівнянь.
Приклад 6. Розв'язати рівняння
Рішення. Помножимо обидві частини рівняння на вираз
Після перетворення рівняння набуде вигляду:
- корінь рівняння. Тепер вирішимо рівняння
Почленно склавши це рівняння з даними, прийдемо до рівняння:
Вирішуючи це рівняння методом зведення в квадрат, отримаємо Але, х = -4 сторонній корінь.
Заміною невідомої величини рішення ірраціональних рівнянь можна звести до вирішення тригонометричних рівнянь.
При цьому корисно пам'ятати:
Якщо в рівняння входить то заміна або
Якщо в рівняння входить то заміна
Якщо в рівняння входить то чи
Приклад 7. Розв'язати рівняння
Рішення. Зробимо заміну отримаємо:
З огляду на, що отримаємо Тому,
4. Використання монотонності функції.
Іноді при вирішенні рівнянь не видно перетворень, які дозволяють побачити заміну або застосувати один з відомих способів, хоча відразу видно один або більше коренів.
Приклад 8. Розв'язати рівняння
Можна вирішити це рівняння шляхом двократного зведення в квадрат. Але розглянемо інший метод:
Підберемо один або кілька коренів рівняння.
Доведемо, що інших коренів немає або знайти інші корені.
Після перевірки - корінь рівняння. Так як функція зростає в області визначення, а монотонна функція приймає кожне своє значення один раз, то інших коренів рівняння не має.
Приклад 9. Розв'язати рівняння
Рішення. При перевірці - корінь рівняння. Для того, щоб використовувати властивість монотонності функції, перетворимо ліву частину рівняння.
Так як функція спадає в області визначення, то - єдиний корінь.
Довести, що рівняння не мають коренів:
1. Відповідь: 4. Нові змінні.
2. Відповідь: 6. Зведення в квадрат.
3. Відповідь: 0. Зведення в квадрат.
4. Відповідь: -2; 2. Штучний спосіб.
5. Відповідь 0; 2. Заміна.
6. Відповідь: Заміна.
7. Відповідь: До тригонометричного рівняння.
8. Скільки коренів на має рівняння
9. Відповідь: 1. Монотонність.
10. Відповідь: 1. Монотонність.
Матеріали цієї статті будуть корисні при підготовці до підсумкової атестації і ЄДІ, а також при вивченні даної теми.