Тема потік вектора через замкнуту ма Гаусса - Генцен векторного поля - студопедія

§1. Потік вектора через замкнуту поверхню. Теорема Гаусса-Остроградського.

Теорема 4.1: Якщо в деякій області G простору координати вектора

безперервні і мають безперервні приватні похідні. то потік вектора через будь-яку замкнену кусочно гладку поверхню σ, розташовану в області G, дорівнює потрійному інтегралу від по області V, обмеженою поверхнею σ:

(Формула Гаусса-Остроградського) .Нормаль до поверхні σ береться зовнішня.

Приклад 4.1. Обчислити потік вектора

через замкнуту поверхню

x 2 + y 2 + z 2 = R 2. z = 0 (z> 0).

Рішення. За формулою 4.1

Інтеграл (4.2) зручно обчислювати в сферичних координатах. маємо

і елемент обсягу

Приклад 4.2. Обчислити потік вектора через поверхню тора.

Рішення. Скориставшись теоремою Гаусса-Остроградського, отримаємо, що шуканий потік П дорівнює

де V - об'єм тора. Щоб обчислити об'єм V. скористаємося теоремою Гюльдена про обсяг тіла обертання, в силу якої цей обсяг дорівнює добутку площі обертається фігури на шлях, що описується центром мас цієї фігури при обертанні.

Нехай R1 і R2 - внутрішній і зовнішній радіуси тора (рис.4.1). Площа S кола, який при обертанні утворює тор, дорівнює

Довжина шляху, описуваного центром мас - центром цього кола, - є довжина l окружності радіуса. тобто.

Таким чином, обсяг V тора дорівнює

Z n ° σ1 k j Y i σ2 X n ° = -k Малюнок 4.2

Приклад 4.3. Використовуючи теорему Гаусса - Остроградського, обчислити потік векторного поля

через зовнішню сторону частини поверхні z = 1 - x 2 - y 2. розташованої над площиною XOY.

Рішення. Для того щоб можна було застосувати теорему Гаусса - Остроградського, замкнемо знизу дану поверхню шматком площині XOY, який обмежений окружністю

Нехай v - обсяг отриманого тіла, обмеженого замкнутої кусково гладкою поверхнею σ. що складається з частини σ1 параболоїда обертання z = 1 - x 2 - y 2 і частини σ2 площині z = 0. (рис. 4.2).

Потік даного вектора через поверхню σ по теоремі Гаусса - Остроградського дорівнює

В силу адитивності потоку матимемо

Звідси шуканий потік

Потік П2 вектора а через коло дорівнює

Так як на площині z = 0 маємо

§2. Дивергенція векторного поля.

Поняття потоку вектора через замкнуту поверхню призводить до поняття про дивергенції або розбіжність поля. Це поняття дає деяку кількісну характеристику поля в кожній його точці.

Нехай М - досліджувана точка поля. Оточимо її поверхнею σ довільної форми, наприклад, сферою досить малого радіуса. Область, обмежена поверхнею σ. нехай буде (V), а її обсяг V. Розглянемо відношення

Визначення 4.1. Якщо відношення (4.3) має кінцевий межа, коли область (V) стягується до точки М. то ця межа називається дивергенцией векторного поля (дивергенцией вектора а) в точці М і позначають символом div a (M). Так що

Формула (4.4) дає інваріантне визначення дивергенції. Це визначення означає, що дивергенція поля а в точці М є об'ємна щільність потоку вектора а в цій точці.

Точки М векторного поля а (М), в яких div a> 0. називаються джерелами, а точки, в яких div a<0 называются стоками векторного поля.

Дивергенція векторного поля є скалярна функція точок поля.

Якщо координати вектора

мають безперервні приватні похідні в околиці точки М (x, y, z). то, користуючись інваріантним визначенням дивергенції, з теореми Гаусса - Остроградського отримуємо, що

Всі величини у формулі (4.5) розглядаються в одній і тій же точці М (x, y, z).

Використовуючи формулу (4.5) для дивергенції, можна теорему Гаусса - Остроградського (див. §1) записати у векторній формі

Приклад 4.4. Користуючись інваріантним визначенням, обчислити дивергенцію вектора a = xi в точці О (0, 0, 0), вибравши в якості поверхонь σ оточуючих точку О. сфери σε радіуса ε з центром в цій точці.

Рішення. За визначенням дивергенції в даній точці маємо

Але так як об'єм кулі дорівнює то

Обчислимо потік даного вектора через сферу σε. Орт нормалі n ° до сфери σε спрямований по радіусу сфери, тому можна покласти:

Шуканий потік буде дорівнює

Переходячи до координат на сфері σε

Приклад 4.5. Обчислити div r.

Рішення. Маємо = xi + yj + zk, так що P = x, Q = y, R = z і, отже, за формулою (4.5)

Приклад 4.6. Обчислити div (u, a), де u (M) - скалярна функція, а (М) = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k - векторна функція.

Рішення. Використовуючи формулу (4.5), знаходимо

Приклад 4.7. Знайти дивергенцію вектора

де - відстань від початку координат до змінної точки M (x, y, z).

Рішення. Використовуючи формулу (4.7), отримаємо

.