Тема «аліквотні дроби» є цікавою темою для дослідження дробів

Аліквотні дроби

Походження аліквотних дробів.

Тема «Аліквотні дроби» є цікавою темою для дослідження дробів. Зіткнувшись з цим терміном вперше, розумієш, чому в Стародавньому Єгипті математики «справжніми» дробом вважали тільки аліквотні дробу.

Отже, єгиптяни все дроби записували як суми часток, тобто дробів виду 1 / n. Наприклад: 8/15 = 1/3 + 1/5. Дробу 1 / n (де n - натуральні числа), яким єгиптяни віддавали перевагу, в сучасній математиці називаються Аліквотні (від латинського aliguot- "кілька ''). Тобто Аліквотні дроби називаються дроби з чисельником 1. І навіть самі аліквотні дроби вони часто прагнули представити у вигляді суми менших аліквотних дробів. Наприклад,

Єгиптяни ставили ієрогліф «Око Хору»

Такі дробу використовувалися разом з іншими формами записи єгипетських дробів для того, щоб поділити «Хекат», основну міру обсягу в Стародавньому Єгипті, т.е.аліквотние дроби потрібні були єгиптянам в практичних цілях.

Розглянемо таку задачу. Розділити 7 хлібів між 8 людьми. Якщо розрізати кожен хліб на 8 частин, доведеться провести 49 розрізів. А по-єгипетськи ця задача вирішувалася так: 7/8 = 1/2 +1/4 +1/8. Значить, кожній людині дати півхліба, чверть хліба і восьмушку хліба. Доведеться зробити майже в три рази менше розрізів.

Єгипетські дроби тривали використовуватися в стародавній Греції і згодом математиками всього світу до середньовіччя, незважаючи на наявні до них зауваження древніх математиків. Наприклад, Клавдій Птолемей говорив про незручність використання єгипетських дробів в порівнянні з Вавилонської системою (позиційна система числення)

Важливу роботу по дослідженню єгипетських дробів провів математик XIII століття Фібоначчі в своїй праці «Liber Abaci» - це

обчислення, використовують десяткові і звичайні дроби, витіснили з часом єгипетські дроби. Фібоначчі використовував складну запис дробів, що включала запис чисел зі змішаним підставою і запис у вигляді сум дробів, часто використовувалися і єгипетські дроби. Також в книзі були наведені алгоритми перекладу зі звичайних дробів в єгипетські.

Основні операції над Аліквотні дроби

Щоб уявити будь-яке число у вигляді суми аліквотних дробів, часом доводиться проявляти, неабияку винахідливість. Скажімо, число 2/43 виражається так: 2/43 = 1/42 +1/86 +1/129 + 1 / 301.Проізводіть арифметичні дії над числами, розкладаючи їх в суму часткою одиниці, дуже незручно.

Тому в процесі вирішення завдань для розкладання аліквотних дробів у вигляді суми менших аліквотних дробів виникла ідея систематизувати розкладання дробів у вигляді формули. Ця формула діє, якщо потрібно розкладання аликвотной дробу на дві аліквотні дробу.

Формула виглядає наступним чином:

Приклади розкладання дробів:

Але якщо перетворити нашу формулу, то отримаємо наступне корисне рівність:

Тобто аликвотную дріб можна представити різницею двох аліквотних дробів, або різницю двох аліквотних, знаменателями яких є послідовні числа дорівнює їх добутку.

Повернемося до формули і доведемо це рівність:

(1 / (n + 1)) + (1 / n * (n + 1)). привівши дроби до спільного знаменника, отримуємо:

(N + 1) / ((n + 1) * n) після скорочення отримуємо:

Отже, виходить, що 1 / n = 1 / n. Наша формула вірна.

Але ми підемо далі, і на підставі різниці аліквотних дробів вирішимо, на перший погляд, важковирішувану для звичайної людини завдання:

Скористаємося нашої формулою для розкладання аликвотной дробу у вигляді різниці:

1/20 = 1 / (4 * 5) = 1 / 4-1 / 5 і т.д.

Підставивши, вже розкладені вираження в наш приклад, отримуємо:

Ми представили формулу, як зручність при розкладанні аликвотной дробу на 2 доданків. При розкладанні 1 на два доданків виходить:

1 = 1/2 + 1/2 (Наша формула діє!). Щоб розкласти 1 на 3 доданків, ми візьмемо одну аликвотную дріб і за формулою розкладемо її ще на дві аліквотні дробу:

Щоб розділити на 4 доданків, ділимо ще одну дріб на дві аліквотні дробу:

На 5 доданків: 1/6 = 1/7 + 1/42 => 1 = 1/2 + 1/4 + 1/12 + 1/7 + 1/42.

Рішення задач з підручника

Завдання. Уявити число 1 у вигляді сум різних аліквотних дробів

А) трьох доданків

Б) чотирьох доданків

Завдання. Митя виявив, що 1 / n частину класу написала роботу краще за нього, а 1 / (n-1) частину класу - гірше нього. Скільки учнів у класі?

Якщо 1 / n написало краще, а 1 / (n-1) гірше. В ідеалі ніхто не написав роботу також як і він, але з таким же результатом могло бути і більше учнів.

За кількох сказати нічого не можу, а за одного: Ми можемо взяти число всіх учнів класі за 1. І тоді виходить що ми повинні розкласти число 1 на 3-тю аліквотні дробу.

1 / x = 1 / n * (n-1) тоді виходить що в класі n * (n-1) учнів.

Методом підбору ми бачимо що 1 розкладається на аліквотні дроби тільки в такий спосіб:

1 = 1/2 + 1/2 = 1/2 + 1/3 + 1/6 у всіх інших випадках ми не зможемо отримати з суми інших аліквотних дробів 1.

Так що, в разі. якщо він один написав роботу з таким результатом, можна стверджувати, що в класі 6 чоловік.

А якщо таких учнів було кілька, то задача має безліч рішень.

Рішення олімпіадних завдань

Щоб знайти рішення даної задачі необхідно знайти суму

І відняти від неї суму

1, b) 10/11, c) 4/5, d) 8/9, e) 9/10

Завдання. Щоб дізнатися в якому році в Казані буде проводитися Універсіада потрібно суму аліквотних дробів

Схожі документи:

історії звичайних дробів 1.1 Виникнення дробів Численні історико-математичні дослідження показують, що. аліквотнуюдробь можна уявити різницею двох аліквотнихдробей. або різницю двох аліквотних. знаменниками яких є.