Таблиця синусів і косинусів
Таблиця синусів і косинусів.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не надто."
І для тих, хто "дуже навіть.")
Продовжуємо освоювати таблицю синусів і косинусів. А саме - звикаємо працювати з необхідними табличними значеннями без механічної зубріння. І, зрозуміло, без папірців-шпаргалок. Це не складно. Якщо голову включити. Голова потрібна не тільки шапку носити, так. )
Отже, в попередньому уроці ми розбили кути, про які потрібно знати все. на три групи. Перша група - кути, які потрапляють точно на осі координат. Друга група - всього три кути: 30 °, 45 °, 60 °. Значення таблиці синусів і косинусів для цих трьох кутів доводиться-таки визубрити. Аж все три значення!)
Залишилася остання, третя група кутів.
Третя група кутів.
Ось ці дев'ять кутів:
120 °; 135 °; 150 °; 210 °; 225 °; 240 °; 300 °; 315 °; 330 °.
Треба залізно знати таблицю синусів і косинусів для цих кутів. Ось як виглядають ці кути в радіанах:
Для більшого залякування я додам, що це кути, які лежать в межах всього лише одного обороту. Тобто в межах 360 °. А треба знати значення таблиці синусів і косинусів і за цими межами. Скажімо, синус 855 °, або косинус 21пі / 4 ви знати зобов'язані.
Що, тьмяніють фарби життя !?)
Спокій! Нас врятують життєва кмітливість і тригонометричний коло! Я ж попереджав, що за допомогою кола всі ці несусвітні проблеми (і не тільки ці!) Можна вирішити за пару хвилин. Нудячись.)
Справа в тому, що всі ці кути складені з кутів попередніх двох груп. наприклад:
До речі, можна використовувати не суму, а різницю, наприклад:
Іншими словами, кожен кут з цієї групи є сума (різниця) одного кута з першої групи (ті, що потрапляють на осі координат) і одного кута з другої групи (30, 45, 60). Ні, можна звичайно розбити кути на суму / різницю яких попало, але воно нам зовсім не треба.) Треба: один кут - з першої групи і один з другої.
І як же ми будемо використовувати цей чудовий факт? Просто складати-віднімати синуси? Розчарую. Синус суми кутів зовсім не дорівнює сумі синусів кожного кута! Запам'ятайте це міцно! Для суми є своя довга формула. Але таке спеціальний електронний пристрій кутів дозволить нам знаходити їх синуси-косинуси однією лівою.) Без таблиці синусів і косинусів.
Тут немає ніякої особливої теорії. Чистий практика! Тому показую на прикладах.
Отже, нехай нам треба знайти косинус 150 градусів. Підозрюю, що далеко не кожен відразу і впевнено згадає це значення таблиці синусів і косинусів. Ох, не кожен. ) А якщо і згадає, сумніви будуть гризти. Тому працюємо надійно!
Перш за все міркуємо, з яких особливих кутів він складається. Рекомендую як кута з першої групи вибирати 180 ° або 360 ° Далі зрозумієте, чому. Легко здогадатися, що:
150 ° = 180 ° - 30 °
Відмінно! Розклався кут класично. Один - з першої групи, інший - з другої. Тепер намалюємо кут 150 ° на тригонометричному колі. На око намалюємо, приблизно. Але малювати будемо, дивлячись на розкладання:
150 ° = 180 ° - 30 °
Говорячи життєвим мовою, ми крутимо рухливу сторону кута (де точка А) на 180 ° в плюс (проти годинникової стрілки), потім відмотуємо кут на 30 ° назад!) Сподіваюся, ви вже знаєте, як відраховувати кути на тригонометричному колі? Без цих знань - ніяк.
Отримуємо ось таку картинку:
Зеленим кольором позначено потрібний нам кут в 150 ° і його косинус. А ось червоним кольором я позначив допоміжний кут в 30 °, який нас і врятує в цій крутий завданню.) Адже ми знаємо (ну, або повинні знати.) Косинус 30 градусів з таблиці синусів і косинусів. Правда ці червоненькі 30 ° як би не зовсім правильні 30 °, що не від тієї піввісь відрахувати.
Ну і добре. Давайте намалюємо правильні 30 ° на цьому ж колі. Відраховані від позитивної півосі Х. Наводимо мишку на малюнок (або торкаємося картинки на планшеті) і бачимо правильний синій кут в 30 ° і його косинус.
Ну і. Як вам здається, в якому співвідношенні знаходяться cos30 ° і cos150 °? Здогадаєтеся !?
Так! Косинус 150 градусів дорівнює за величиною косинусу 30, але має негативний знак! Трикутнички зліва-праворуч однакові, косинуси дорівнюють за величиною. От і все. Просто ми на тригонометричному колі прорахували незрозумілий косинус 150 градусів через відомий косинус 30. Чи не заглядаючи в таблицю синусів і косинусів. Так можна робити завжди.
Відчуваєте суть? Будь кут третьої групи завжди розбивається на суму / різницю кута 180 ° (або 360 °) і кута 30, 45, 60 (який вже підійде). Стало бути, на тригонометричному колі ми завжди отримаємо допоміжний кут 30, 45 або 60 градусів. Без різниці, в якій чверті вийде цей допоміжний кут. Досить намалювати правильний кут (в першій чверті), знайти однакові трикутнички і порівняти по картинці їх синуси-косинуси. Тут помилитися дуже важко!
І не треба зазубрювати таблицю синусів і косинусів для цих дев'яти кутів.
От і все. Є тут, правда одна проблемка. Лінуються люди малювати коло. Соромляться, що погано вийде, чи що. Тригонометричний коло - легальна шпаргалка - потрібен вам, а не перевіряючим! Тут не потрібні лінійка, циркуль, транспортир і інші кольорові олівці. Чи не креслення, чай.
Так і бути, я особистим прикладом покажу, як виглядає все це малювання в реалі!
Нехай мені треба визначити cos240 °. Без таблиці синусів і косинусів. За п'ять секунд я міркую, що:
240 ° = 180 ° + 60 °
Ще за десять секунд я малюю потужну картину:
М-да. Жах якийсь. Ну і що. Зате я чітко бачу, де розташовується мій допоміжний кут в 60 ° (третя чверть). Я знаю, що трикутнички, утворені допоміжним кутом в 60 ° і правильним кутом в 60 ° (в першій чверті) - однакові. Нехай навіть на зображенні вони, гм. не надто рівні.) І по цій картинці я стовідсотково розумію, що косинус 240 градусів дорівнює косинусу 60, але зі знаком "мінус". Так як cos240 ° потрапляє на негативну піввісь Х. Тому з цієї кошмарної картини я надійно виводжу (за 20 секунд!) Правильну відповідь. Без будь-якої таблиці синусів і косинусів:
Тим, хто перейнявся повагою до тригонометричного кола, пропоную загадку. Як ви думаєте, яку функцію і будь позитивного кута я шукав ось з цього наскальні малюнки?)
Якщо зрозуміли, вам можна починати вивчати ієрогліфи.) Відповідь буде трохи нижче.
Отже, залишилося всього нічого. Розібратися з кутами, які більше 360 °. Якщо вони приводяться до кутах другої групи (30, 45, 60), значення таблиці синусів і косинусів для них теж знати необхідно. Ну, не зовсім знати - таких кутів безліч - але вміти їх обчислювати.
Тут все просто. Знову суцільна практика. Беремо приклад з початку уроку. Нехай нам треба визначити sin855 °. Зрозуміло, що в цьому вугіллі сидить кілька повних обертів по 360 ° і ще якийсь хвостик. Ось і викинемо ці повні оберти. Вони ніяк не позначаються на тригонометричних функціях кута! Тільки картину плутають.
Есліу нас на світі існує кут, скажімо, в 45 °, то додайте до нього хоч п'ять повних обертів, хоч тридцять п'ять - положення його не зміниться. Чи не зміняться значення синусів, косинусів і т.д.
Визначити кількість повних обертів дуже просто. Треба розділити величину кута (в нашому випадку - 855 °) на 360 °. Хоч в розумі, хоч куточком. Радує те, що до кінця ділити не треба! Нам же кількість цілих оборотів треба знати, а не дрібних.
Ось і ділимо. Отримуємо два з копійками. Копійки нас не цікавлять, їх навіть і рахувати не потрібно. А два повних оберти - це 2 · 360 ° = 720 °. Вважаємо хвостик. віднімаємо:
Хвостик вийшов 135 °. А це класичний кут третьої групи! Так як:
З цим кутом розбираємося, як написано вище. За допомогою кола. Ось і всі справи. Так потрібно поступати завжди. Відкинути від великого значення кута все повні оберти і працювати з рештою хвостиком. До речі, якщо цей хвостик не потрапляє в якусь групу (20 °, наприклад, або 160 °) - значить, десь помилка. Або завдання - більш складне і розраховане на якісь додаткові перетворення. Синус 20 ° ви знати не зобов'язані.
Повернемося до наскальних малюнків.) Дійти до правильної відповіді можна по такому ланцюжку:
3. Зазначені дужками кути, очевидно, повинні бути рівні. Кут в першій чверті всяко менше 60 °. Та й менше 45 °! Стало бути, це 30 градусів!
Пора застосувати знання на практиці. Потренуватися. Натякаю, що таблицю синусів і косинусів можна використовувати тільки для перевірки! Тонко так натякаю. ) Попереджаю, що ніяких особливих формул і тригонометричних перетворень тут не потрібно. Просто визначаємо значення і підставляємо в приклад. Щоб горе від розуму не вийшло. )
cos0 ° + sin90 ° - cos180 ° - sin270 ° =
sin135 ° · cos315 ° =
sin240 ° · cos330 ° =
cos (-120 °) · sin (-330 °) =
Відповіді (в безладді): 1,5; -0,25; 4; -0,75; 0,5
Виходить? Відмінно! Не виходить? Плутанина з негативними значеннями? Буває. Нічого страшного. Найголовніше - правильно намалювати (відрахувати) кут на колі. А там уже все видно. Тут вам допоможе урок: Як намалювати (відрахувати) будь-яким кутом на тригонометричному колі в градусах.
Самі ази, звичайно, але куди без них?)
Ускладнити завдання. Працюємо по-дорослому. З радіанами. Саме ця міра кута є основною в солідній математики.
Відповіді (в безладді): 0,5; 1,5; -2; -0,5; 0,25.
Що, з радіанами складніше, так? У градуси переводити, потім зайві обороти відкидати. Так, клопітка заняття! До речі, в цьому уроці ми тільки з градусами працювали, якщо хто помітив. ) Це спеціально.
Тільки для тих, хто дістався до цих рядків!)
Справа в тому, що є дуже простий практичний прийом роботи з радіанами. Та такий прийом, що робота з радіанами стає простіше, набагато простіше роботи з градусами! Тому я і не розписував тут приклади з радіанами і переведенням їх в градуси. Зайве це. Набагато простіше і надійніше працювати з радіанами безпосередньо.
Підсумуємо тему. У цьому уроці хто хотів, той навчився хвацько крутити по колу кути, відкидати повні оберти і легко визначати необхідні значення таблиці синусів і косинусів без цієї самої таблиці. Це солідний багаж для контрольних та іспитів.
Але найголовніше в цьому уроці - тренування в роботі з тригонометричним колом. Визначати значення таблиці синусів і косинусів можна і без кола. За формулами приведення, про які ми ще поговоримо. Але будь-яка формула тригонометрії може бути застосована в своїй вузькій області. А коло допомагає у всій тригонометрії. Скажімо, тригонометричні нерівності (а це завдання рівня С!) Вирішуються на 90% через коло, а що залишилися 10% - за допомогою кола. Коло зайвим не буває!) Освойте його, і тригонометрія буде дружити з вами.
Попередня сторінка: Таблиця синусів. Таблиця косинусів. Таблиця тангенсов і котангенсів.
Наступна сторінка: Що таке арксинус, арккосинус? Що таке арктангенс, арккотангенс?