ступінчаста матриця
Визначення. Ступінчастою будемо називати матрицю, яка має такі властивості:
1) якщо i-й рядок нульова, то (I + 1) -я рядок також нульова,
2) якщо перші ненульові елементи i-й і (I + 1) -й рядків розташовані в стовпцях з номерами k і R, відповідно, то k Умова 2) вимагає обов'язкового збільшення нулів зліва при переході від i-го рядка до (I + 1) -му рядку. Наприклад, матриці є ступінчастими, а матриці ступінчастими не є. Теорема 5.1. Будь-яку матрицю можна привести до ступінчастою за допомогою елементарних перетворень рядків матриці. Проілюструємо цю теорему на прикладі. Отримана матриця # 9472; ступінчаста. Визначення. Рангом матриці будемо називати число ненульових рядків в ступінчастому вигляді цієї матриці. Наприклад, ранг матриці А в попередньому прикладі дорівнює 3. Визначники, їх властивості. Зворотній матриця і її обчислення. Визначники другого порядку. Розглянемо квадратну матрицю другого порядку Визначення. Визначником другого порядку, відповідним матриці А, називається число, яке обчислюється за формулою Елементи aij називаються елементами визначника # 9474; А # 9474 ;, елементи а11. а22 утворюють головну діагональ. а елементи а12. а21 # 9472; побічну. Приклад.
Визначники третього порядку.
Розглянемо квадратну матрицю третього порядку
Визначення. Визначником третього порядку, відповідним матриці А, називається число, яке обчислюється за формулою
Щоб запам'ятати, які твори в правій частині рівності слід брати зі знаком «плюс», а які # 9472; зі знаком «мінус», корисно запам'ятати правило, зване правилом трикутника.
1)
2)
Розглянемо ще один спосіб обчислення визначника третього порядку.
Визначення. Мінором елемента aij визначника називається визначник, отриманий з даного викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця. Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij визначника називається його мінор Mij. взятий зі знаком (-1) i + j.
Приклад. Обчислимо мінор М23 і алгебраїчне доповнення А23 елемента А23 в матриці
Обчислимо мінор М23:
М23 =
Теорема 1. Визначник третього порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.
Док-во. За визначенням
Виберемо, наприклад, другий рядок і знайдемо алгебраїчне доповнення А21. А22. А23: