Ступеня і коріння

1. При множенні ступенів з підставами показники складаються, а підстава залишається тим самим:.

2. При розподілі ступенів з однаковими показниками ступеня віднімаються, а підстава залишається тим самим:.

3. При зведенні ступеня в ступінь показники ступенів перемножуються, а підстава залишається тим самим:.

4. Ступінь твори дорівнює добутку ступенів множників:.

5. Ступінь приватного дорівнює приватному ступенів діленого і дільника:.

Властивості радикалів (коренів).

Нехай. Тоді в ОДЗ

1. (корінь n-го ступеня з добутку невід'ємних сомножителей дорівнює добутку коренів тій же мірі із співмножників).

9.
(8 і 9 - правила винесення множника з-під знака кореня і внесення множника під знак кореня)

10.. якщо а> 0іb> 0

11. Якщо 0

Нехай дано корінь n-го ступеня, а розкладання на прості множники подкоренного натурального числа містить лише ступеня з показниками меншими n. Тоді такий корінь називається найпростішим. Правила винесення множника з під знака кореня дозволяє будь-корінь представити у вигляді раціонального числа або у вигляді твору раціонального числа на найпростіший корінь. Наприклад,.

Раціональний множник перед найпростішим коренем називають коефіцієнтом твори. Два радикала називаються подібними, якщо після перетворення до найпростішого виду, можуть відрізнятися лише коефіцієнтами.

Так, і подібні, тому що їх найпростіші види і відрізняються лише коефіцієнтами.

В ірраціональних виразах можна приводити подібні, при цьому раціональні складові вважаються подібними один одному.

Два раціональних числа називаються сполученими один одному, якщо їх твір є раціональним числом. Так, і - пов'язані, тому що .

Приклади пов'язаних виразів для:

1. і (1

Щоб звільнитися, від ірраціональності в знаменнику дробу, множать чисельник і знаменник дробу на поєднане знаменника.

Для порівняння иррациональностей можна використовувати одинадцятий властивість. Для цього можна, використовуючи властивості 8 і 9, все можна порівняти ірраціональності представити у вигляді радикалів однієї і тієї ж ступеня. Наприклад, 1) що б порівняти і. представимо їх у вигляді коренів однієї і тієї ж ступеня і. 8<9. Значит <. 2) и . . . 225<250 значит .

Щоб скористатися властивістю 6, потрібно подкоренное вираження перетворити в квадрат. При цьому використовуються тотожності: і метод невизначених коефіцієнтів.

Приклад. Щоб спростити. представимо у вигляді квадрата вирази. . Будемо шукати цілі AИ b, що задовольняють системі: (5; 1) - рішення системи. Значить,.

Властивість 7 так дозволяє спрощувати вирази, що містять ірраціональності, тільки подкоренное вираження треба представити у вигляді (2k + 1) -го степеня.

Наприклад, що б спростити представимо однокореневі вираження в куби. Скористаємося формулами для кубів суми і різниці і методом невизначених коефіцієнтів.

Прирівнявши раціональні частини і коефіцієнти раціональних частин, отримаємо систему рівнянь, яку вирішимо в цілих числах:; . .

(2,1) - цілочисельне рішення системи. Отже,.

Наведемо ще приклади перетворення виразів з використанням властивостей ступенів і радикалів: