Структура безлічі рішень спільної неоднорідною системи лінійних рівнянь »лінійна алгебра

п.6. Структура безлічі рішень спільної неоднорідною системи лінійних рівнянь.

Визначення. Нехай - неоднорідна система лінійних рівнянь з матрицею системи А. Система лінійних рівнянь називається однорідною системою лінійних рівнянь відповідної даної неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Визначення. Довільний рішення неоднорідної системи називають її приватним рішенням.

Приклад. Знайти приватне рішення системи.

Рішення. Легко бачити, що

- приватні рішення даної системи.

Позначимо через безліч всіх рішень неоднорідної системи, тобто , А через простір рішень відповідної однорідної системи. Довільний приватне рішення неоднорідної системи позначимо через X *, так що і вірно рівність:.

У цих позначеннях справедлива наступна теорема.

Теорема. (Про структуру множини рішень неоднорідної системи.)

1) Сума будь-якого приватного рішення неоднорідної системи і будь-якого рішення відповідної однорідної системи є рішенням неоднорідної системи.

2) Будь-яке рішення неоднорідної системи можна представити у вигляді суми деякого приватного рішення неоднорідної системи і деякого рішення відповідної однорідної системи.

1) якщо і, то;

тобто якщо і, то;

2) якщо і, то, тобто будь-яке рішення неоднорідної системи можна представити у вигляді, де, а.

Доведення. 1) Нехай і. Тоді за властивостями складання матриць

2) Нехай і. тоді

, тобто . Позначимо. Тоді, де, а, ч.т.д.

Це безліч називається сумою підпростору і вектора (стовпчик) і ще воно називається лінійним (або векторним) різноманіттям, паралельним подпространству. (Див. Нижче п.7.)

Як видно з цього позначення,

Використовуючи це і попередні позначення, останню теорему можна сформулювати наступним чином:

Теорема. (Про структуру множини рішень неоднорідної системи.)

Інакше, безліч S рішень неоднорідної системи дорівнює сумі підпростору рішень відповідної однорідної системи і довільного приватного рішення X * вихідної неоднорідної системи.

Слідство. Будь-яке рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь може бути записано у вигляді:

де - загальне рішення відповідної однорідної системи, а - довільне приватне рішення неоднорідної системи.

Визначення. Рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь, записане у вигляді

де - довільні постійні (скаляри з поля), - фундаментальна система рішень відповідної однорідної системи, називається загальним рішенням неоднорідної системи.

Висновок. Вирішити неоднорідну систему лінійних рівнянь означає знайти безліч всіх її рішень. А, в свою чергу, безліч всіх її рішень має вигляд:

. Отже, у відповіді досить виписати спільне рішення:.

Приклад. Вирішити систему:.

Перш за все, будь-яким способом знаходимо довільне її приватне рішення, наприклад:, так, що. Загальне рішення відповідної однорідної системи ми вже знайшли:. Тоді загальне рішення даної неоднорідної системи має вигляд:.