Стрічка Мебіуса - це
Лист Мебіуса іноді називають прабатьком символу нескінченності, так як перебуваючи на поверхні стрічки Мебіуса, можна було б йти по ній вічно. Це не відповідає дійсності, так як символ використовувався для позначення нескінченності протягом двох століть до відкриття стрічки Мебіуса. (Див. Символ нескінченності).
Стрічка Мебіуса володіє цікавими властивостями. Якщо спробувати розрізати стрічку вздовж по лінії, рівновіддаленої від країв, замість двох стрічок Мебіуса вийде одна довга двостороння (удвічі більше закручена, ніж стрічка Мебіуса) стрічка, яку фокусники називають «афганська стрічка». Якщо тепер цю стрічку розрізати вздовж посередині, виходять дві стрічки намотание один на одного. Якщо ж розрізати стрічку Мебіуса, відступаючи від краю приблизно на третину її ширини, то виходять дві стрічки, одна - більш тонка стрічка Мебіуса, інша - довга стрічка з двома півобертами (Афганська стрічка). Інші цікаві комбінації стрічок можуть бути отримані зі стрічок Мебіуса з двома або більше півобертами в них. Наприклад якщо розрізати стрічку з трьома півобертами, то вийде стрічка, завита у вузол трилисника. Розріз стрічки Мебіуса з додатковими оборотами дає несподівані фігури, названі парадромнимі кільцями.
Геометрія і топологія
Параметричний опис листа Мебіуса.
Щоб перетворити квадрат в лист Мебіуса, з'єднайте краї, помічені так, щоб напрямки стрілок збіглися.
Одним із способів подання листа Мебіуса як підмножини є параметризація:
де і . Ці формули задають стрічку Мебіуса ширини 1, чий центральний круг має радіус 1, лежить в площині x - y з центром в. Параметр u пробігає вздовж стрічки, в той час як v задає відстань від краю.
В циліндричних координатах, необмежена версія листа Мебіуса може бути представлена рівнянням:
Топологічно лист Мебіус може бути визначений як факторпространством квадрата по відношенню еквівалентності для.
Лист Мебіуса - це також простір нетривіального розшарування над колом з шаром відрізок.
подібні об'єкти
Близьким «дивним» геометричним об'єктом є пляшка Клейна. Пляшка Клейна може бути отримана шляхом склеювання двох стрічок Мебіуса по краях. У звичайному тривимірному евклідовому просторі зробити це, не створюючи самопересеченія, неможливо.
Інша схоже безліч - сфера з плівкою. Якщо проколоти отвір в сфері з плівкою, тоді то що залишиться буде листом Мебіуса. З іншого боку, якщо приклеїти диск до стрічки Мебіуса, поєднуючи їх межі, то результатом буде сфера з плівкою. Щоб візуалізувати це, корисно деформувати стрічку Мебіуса так, щоб її кордон став звичайним колом. Таку фігуру називають «пересічена кришка» (пересічена кришка може також означати ту саму фігуру з приклеєними диском, тобто занурення проективної площині в).
Існує поширена помилка, що пересічна кришка не може бути сформована в трьох вимірах без самопересекающиеся поверхні. Насправді можливо помістити стрічку Мебіуса в с кордоном, що є ідеальним колом. Ідея полягає в наступному - хай C буде одиничним колом в площині xy в. Поєднавши антіподние точки на C. тобто, точки під кутами θ і θ + π дугою кола, отримаємо, що для θ між 0 і π / 2 дуги лежать вище площині xy. а для інших θ нижче (причому в двох місцях дуги лежать в площині xy).
Можна помітити, що якщо диск приклеюється до граничної кола, то самоперетинів що виходить сфера сплёнкой неминуче в тривимірному просторі. У термінах завдання сторін квадрата, як було показано вище, сфера з плівкою виходить склеюванням двох, що залишилися сторін зі збереженням орієнтації.
відкриті проблеми
ВІДПОВІДЬ. Таких формул існує нескінченно багато, см. Напр. [1].
Складніше знайти форму, яка при цьому мінімізує пружну енергію вигину. Це завдання, вперше поставлена Садовським (M. Sadowsky) в 1930 році, була недавно вирішена, см. [2]. Однак рішення не описується алгебраїчної формулою, і малоймовірно, що така формула взагалі існує. Щоб знайти просторову рівноважну форму паперової стрічки Мебіуса, необхідно вирішити крайову задачу для системи диференційно-алгебраїчних рівнянь.
Мистецтво і технологія
Міжнародний символ переробки є Лист Мебіуса.
Лист Мебіуса служив натхненням для скульптур і для графічного мистецтва. Ешер був одним з художників, хто особливо любив його і присвятив кілька своїх літографій цього математичного об'єкту. Одна з відомих - лист Мебіуса II. показує мурах, що повзають по поверхні стрічки Мебіуса.
Існують технічні застосування стрічки Мебіуса. Смуга стрічкового конвеєра виконується у вигляді стрічки Мебіуса, що дозволяє йому працювати довше, тому що вся поверхня стрічки зношується рівномірно. Також в системах запису на безперервну плівку застосовуються стрічки Мебіуса (щоб подвоїти час запису). У багатьох матричних принтерах барвна стрічка також має вигляд листа Мебіуса для збільшення її ресурсу.
Пристрій під назвою резистор Мебіуса - це недавно винайдений електронний елемент, який не має власної індуктивності.