спектральна щільність

У статистичної радіотехніці і фізиці при вивченні детермінованих сигналів і випадкових процесів широко використовується їх спектральне подання у вигляді спектральної щільності, яка базується на перетворенні Фур'є.

Якщо процес x (t) має кінцеву енергію і квадратично інтегруємо (а це нестаціонарний процес), то для однієї реалізації процесу можна визначити перетворення Фур'є як випадкову комплексну функцію частоти:

Однак вона виявляється майже марною для опису ансамблю. Виходом з цієї ситуації є відкидання деяких параметрів спектра, а саме спектра фаз, і побудові функції, що характеризує розподіл енергії процесу по осі частот. Тоді згідно з теоремою Парсеваля енергія

Функція S x (f) = | X (f) | 2 (f) = | X (f) | ^> характеризує, таким чином, розподіл енергії реалізації по осі частот і називається спектральної щільністю реалізації. Усереднивши цю функцію по всіх реалізацій можна отримати спектральну щільність процесу.

Перейдемо тепер до стаціонарного в широкому сенсі центрованої випадковому процесу x (t). реалізації якого з імовірністю 1 мають нескінченну енергію і, отже, не мають перетворення Фур'є. Спектральна щільність потужності такого процесу може бути знайдена на підставі теореми Вінера-Хинчина як перетворення Фур'є від кореляційної функції:

Формула (6) з урахуванням (2) показує, що дисперсія визначає повну енергію стаціонарного випадкового процесу, яка дорівнює площі під кривою спектральної щільності. Розмірну величину S x (f) d f (f) df> можна трактувати як частку енергії, зосереджену в малому інтервалі частот від f - d f / 2 до f + d f / 2. Якщо розуміти під x (t) випадковий (флуктуаційний) струм або напруга, то величина S x (f) (f)> матиме розмірність енергії [В 2 / Гц] = [В 2 с]. Тому S x (f) (f)> іноді називають енергетичним спектром. У літературі часто можна зустріти іншу інтерпретацію: σ x 2 ^> - розглядається як середня потужність, що виділяється струмом або напругою на опорі 1 Ом. При цьому величину S x (f) (f)> називають спектром потужності випадкового процесу.

Властивості спектральної щільності

• Енергетичний спектр стаціонарного процесу (речового або комплексного) - невід'ємна величина:

• Енергетичний спектр речового стаціонарного в широкому сенсі випадкового процесу є дійсна і парна функція частоти:

• Кореляційна функція k x (τ) (\ tau)> і енергетичний спектр S x (f) (f)> стаціонарного в широкому сенсі випадкового процесу мають всі властивості, характерними для пари взаємних перетворень Фур'є. Зокрема, чим «ширше» спектр S x (f) (f)> тим «вже» кореляційна функція k x (τ) (\ tau)>. і навпаки. Цей результат кількісно виражається у вигляді принципу або співвідношення невизначеності.