Система координат на площині - студопедія

Під системою координат на площині розуміють спосіб, що дозволяє чисельно описати стан точки площині. Однією з таких систем являетсяпрямоугольная (декартова) система координат.

Прямокутна система координат задається двома взаємно перпендикулярними прямими - осями, на кожній з яких вибрано позитивний напрямок і заданий одиничний (масштабний) відрізок. Одиницю мас-штабу зазвичай беруть однаковою для обох осей. Ці осі називають осями координат, точку їх перетину О - початком координат. Одну з осей називають віссю абсцис (віссю Ох), іншу - віссю ординат (віссю Оу) (рис. 23).

На малюнках вісь абсцис зазвичай розташовують горизонтально і спрямованої зліва направо, а вісь ординат - вертикально і спрямованої знизу вгору. Осі координат ділять площину на чотири області - чверті (або квадранти).

Одиничні вектори осей позначають i і j (| i | = | j | = 1,). Систему координат позначають Оху, а площину, в якій розташована

система координат, називають координатною площиною.

Розглянемо довільну точку # 924; площині Оху. Вектор ОМ називається радіусом-вектором точки М.

координатами точки # 924; в системі координат Оху називаючи-ються координати радіуса-вектора OM. Якщо OM = (x; y), то координати точки # 924; записують так: М (х; у), число x називається абсцисою точки М, у - ординатою точки # 924 ;.

Ці два числа x і y повністю визначають положення точки на площині, а саме: кожній парі чисел x і y відповідає єдина точка М площині, і навпаки.

Інший практично важливою системою координат є полярна система координат. Полярна система координат задається точкою О, на-зване полюсом, променем Ор, званим полярною віссю, і одиничним вектором e того ж напрямку, що і промінь Ор.

Візьмемо на площині точку М, що не збігається з О. Положення точки М визначається двома числами: її відстанню г від полюса О і кутом # 966 ;, утворений-ним відрізком ОМ з полярною віссю (відлік кутів веде-ся в напрямку, протилежному руху годинникової стрілки) (див. Рис. 24).

Числа r і # 966; називаються полярними координатами точки М, пишуть М (r; # 966;), при цьому r називають полярним радіусом, # 966; - полярним кутом.

Для отримання всіх точок площини досить полярний кут # 966; обмежити проміжком (-π; π] (або 0<φ <2πr), а полярный радиус — [0;∞). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ, и обратно.

Встановимо зв'язок між прямокутними і полярними координатами. Для цього совместім полюс Про з початком координат системи Оху, а полярну вісь - з позитивною полуосью Ох. Нехай x і у - прямокутні координати точки М, а r і # 966; - її полярні координати.

З малюнка 25 видно, що прямокутні координати точки М виражаються через полярні координати точки наступним чином:

Полярні ж координати точки М виражаються через її декартові координати (той же малюнок) такими формулами

визначаючи величину # 966 ;, слід встановити (по знакам x і у) чверть, в якій лежить шуканий кут, і враховувати, що -π <φ<π.

Основні програми методу координат на площині