Що таке - поле - в математиці

Поняття "поле" вивчається в курсі вищої алгебри.

Дамо більш точне його визначення.

Полем називається непорожня безліч P, на якому задані дві бінарні алгебраїчні операції, іменовані складанням і множенням, що задовольняють наступним 10 аксіом:

1.Для будь-яких a, b, c, що належать P, (a + b) + c = a + (b + c) - асоціативність додавання;

2. Для будь-яких a, b належать P, a + b = b + a - коммутативность складання;

3.Существует нульовий елемент 0, що належить P, що для будь-якого елемента a, що належить P, виконується рівність: 0 + a = a + 0 = a - існування нульового елемента;

4. Для будь-якого елементу a існує -а, що виконується рівність: a + (- a) = (- a) + a = 0 - існування протилежного елементу для кожного;

5. Для будь-яких a, b, c, що належать P, (a + b) * c = a * c + b * c, a * (b + c) = a * b + a * c - дистрибутивность множення щодо складання;

6. Для будь-яких a, b, c, що належать P, (a * b) * c = a * (b * c) - асоціативність множення;

7. Для будь-яких a, b належать P, a * b = b * a - коммутативность множення;

8.Существует одиничний елемент 1, що належить P, що для будь-якого елемента a, що належить P, виконується рівність: 1 * a = a * 1 = a - існування одиничного елемента;

9.0 НЕ дорівнює 1. 0,1 належать Р;

10. Для будь-якого елементу a, що не рівного нулю, існує зворотний елемент 1 / а (a в мінус першого ступеня), що виконується рівність: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 - існування зворотного елемента для кожного ненульового.

З числових множин, які вивчаються в школі (представлені на знімку), прикладами поля є тільки безлічі раціональних і дійсних чисел, так як в них виконуються всі умови з визначення поля. А безлічі натуральних чисел (1,2,3.) І цілих чисел (. -3, -2, -1,0,1,2,3,4.) Поле не утворюють, так як для натуральних чисел не виконуються аксіоми 3 , 4,9,10 (досить навіть невиконання однієї аксіоми 3, далі можна не перевіряти), а для цілих чисел - аксіома 10.

Поле в математиці використовується в двох іпостасях.

По-перше, поле - це безліч об'єктів, для яких визначені операції додавання, множення і ділення (крім ділення на нульовий об'єкт), причому таких об'єктів, що результати цих операцій не виходять за межі множини. З цієї причини цілі числа полем не є: результат операції "1 ділити на 2", очевидно, безлічі цілих чисел не належить. Такий клас множин називається "кільце".

А ось безліч раціональних чисел вже є полем: частка від ділення одного раціонального числа на інше раціональне залишається раціональним числом.

По-друге, поле - це. це поле. Те, що ми звикли називати полем з фізичної точки зору. З достатнім ступенем спільності можна вважати, що поле - це функція декількох змінних: якщо ми задаємо правило, за яким кожній точці М ставиться у відповідності деяка величина К (не обов'язково навіть число - це може бути і вектор, як для напруженості електричного поля, і навіть тензор, як в Загальній теорії відносності), то у нас тим самим на просторі, якому належать точки М, задано поле.

Нехай А - безліч.

Опр: А - поле. якщо А - коммутативное кільце з 1 (з одиницею), в якому для будь-якого x ≠ 0 існує хˉ ---- ¹ - зворотний елемент, такий, що: х ---- · хˉ ---- ¹ = x-- ------ ˉ ---- ¹ ---- · x = 1 ---

Тепер розберемося, що таке кільце, коммутативное кільце і кільце з 1.

Опр. А - кільце. якщо в А задані дві операції:

• Для будь-яких x, y з А --- → х + у з А - додавання;
• Для будь-яких x, y з А --- → х · у з А - множення;

такі, що виконані наступні аксіоми:

1. х + у = у + х;
2. x + (y + z) = (x + y) + z;
3. Існує 0 (нульовий елемент) такої, що x + 0 = 0 + x = x;
4. Для будь-якого х існує (х) такої, що (х) + х = 0;
5. x (yz) = (xy) z;
6. x (y + z) = xy + xz;

Опр. А - кільце з 1. якщо А - кільце і існує 1 (одиничний елемент) такої, що 1 · х = х · 1 = х.

Дякуємо! А як це використовують? Можете маленький зрозумілий приклад дати? - 3 роки тому

Ну, наприклад, візьмемо безліч цілих чисел Z. Давайте перевіримо, буде воно полем чи ні? За умовою, якщо Z - поле, то воно повинно бути кільцем, комутативним кільцем і кільцем з 1 і при цьому мати зворотний елемент для будь-якого елемента з Z.
Дивимося ..
Чи є Z кільцем?
Так. Множення, додавання присутні. Всі аксіоми виконуються.
Чи є Z комутативним кільцем?
Так, теж є. Наприклад, 5 * 3 = 3 * 5 = 15
Чи є Z кільцем з 1?
Так, є.
АЛЕ Z не є полем, так як не існує зворотного елемента для кожного елемента з Z, так як це цілі числа. А зворотний елемент - це 1 ділити на цей самий елемент. Наприклад, 3 і 1/3. А 1/3 - це не ціле число.
А ось безліч ірраціональних чисел (Q) і речових (R) будуть полями. Розібралися тепер? - 3 роки тому

Це безліч, в якому все числа мають певну властивість. Наприклад, поле цілих чисел.

Відомо, що операції додавання, віднімання і множення виконуються над полем цілих чисел.

Це означає, що якщо скласти, відняти або помножити два цілих числа, то вийде ціле число.

А поділ - не визначене. Буває, що, розділивши одне ціле на інше ціле, ми отримаємо раціональне.

Тому всі 4 дії арифметики виконуються над полем раціональних чисел.

Як би ми не складали, вичитали, множили і ділили раціональні числа, ми знову отримаємо раціональне.

Сумний Роджер [170K]

Цілі числа не утворюють поля. Вони утворюють інший клас множин - кільце. - 3 роки тому

Так мабуть. Я насправді не дуже розуміюсь в теорії полів в математиці.
Але по суті я все одно прав. Поле - це безліч чисел, що володіють певним властивістю. - 3 роки тому