Що таке ірраціональне число відповідь на

Ірраціональним числом називається дійсне число. яке не можна представити у вигляді раціонального дробу.

Ірраціональне число може бути представлено у вигляді нескінченної неперіодичної дробу. Безліч ірраціональних чисел позначають і воно дорівнює:.

Наприклад. Ірраціональними числами є:

• для будь-якого натурального, який не є точним квадратом;
• для будь-якого раціонального;
• для будь-якого позитивного раціонального;
• , а також для будь-якого цілого.

Операції над ірраціональними числами

На безлічі ірраціональних чисел можна ввести чотири основні арифметичні операції: додавання. віднімання. множення і ділення; але ні для однієї з перерахованих операцій безліч ірраціональних чисел не має властивість замкнутості. Наприклад, сума двох ірраціональних чисел може бути числом раціональним.

Наприклад. Знайдемо суму двох ірраціональних чисел і. Перше з цих чисел утворено послідовністюодиниць, розділених відповідно одним нулем, двома нулями, трьома нулями і т.д. друге - послідовністю нулів, між якими поставлені одна одиниця, дві одиниці, три одиниці і т.д .:

Таким чином, сума двох заданих ірраціональних чисел є число. яке є раціональним.

Завдання. Довести, що число є ірраціональним.

Доведення. Будемо використовувати метод докази від протилежного. Припустимо, що число раціональне, тобто може бути представлено у вигляді дробу. де і - взаємно прості натуральні числа.

Зведемо обидві частини рівності в квадрат, отримаємо

Число ділиться на 3. Тому і, отже, ділиться на 3. Вважаючи, рівність можна записати у вигляді

З останнього рівності випливає, що і діляться на 3, отже, дріб можна скоротити на 3. Але за припущенням дріб нескоротних. Отримане протиріччя і доводить, що число непредставімо у вигляді дробу і, отже, ірраціонально.

Що й потрібно було довести.