Що називається диференціалом функції чому він дорівнює

Який геометричний зміст диференціала функції?

3. Властивості диференціала.

Формули для наближених підрахунків.

Як знайти похибки наближеного приросту функції?

Практична робота №5

«Повне дослідження функції. Побудова графіків »

Мета: сформувати навички дослідження функції за загальною схемою і побудови її графіка.

За допомогою похідної вирішуються найрізноманітніші прикладні завдання. Зокрема поняття похідної є потужним інструментів для дослідження функції.

Функція. певна в усіх точках проміжку. називається зростаючою (спадною) в цьому проміжку, якщо для будь-яких двох значень аргументу, що належать цьому проміжку, більшого з них відповідає більше (менше) значення функції, т. е,

якщо. то при - зростаюча, - спадна.

З даного визначення випливає, що для зростаючої функції збільшення аргументу і функції має один і той же знак, в силу чого їх ставлення позитивно:. Для спадної функції ці збільшення мають різні знаки, в силу чого.

Теорема. Якщо функція f має позитивну похідну в кожній точці інтервалу l, то ця функція зростає на цьому інтервалі. Якщо функція f має негативну похідну в кожній точці інтервалу l, то ця функція спадає на цьому інтервалі.

Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, називаються стаціонарними точками функції. Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками.

Ті значення аргументу, при яких функція досягає своїх найбільших і найменших в порівнянні з близькими значень, називаються точками максимуму і мінімуму

Визначення. Tочка х0 називається точкою мінімуму функції f, якщо знайдеться така околиця точки х0. що для всіх х з цієї околиці

Визначення. Tочка х0 називається точкою максимуму функції f, якщо знайдеться така околиця точки х0. що для всіх х з цієї околиці

Точки мінімуму і максимуму називаються точками екстремумів даної функції, а значення функції в цих точках називаються екстремумами функції.

Теорема (Ферма). Якщо х0 є точкою екстремуму функції f і в цій точці існує похідна, вона дорівнює нулю: f '(x0) = 0.

Звернення першої похідної в нуль є необхідним. але не достатньою умовою екстремуму.

Теорема (Перше достатня умова існування екстремуму).

Нехай функція f (x) диференційована в деякому околі точки х0. Якщо при переході через точку х0 зліва направо похідна f / (x) змінює знак з плюса на мінус, то в точці х0 функція f (x) має максимум.

Якщо ж при переході через точку х0 похідна f / (x) змінює знак з мінуса на плюс, то в точка х0 є точкою мінімуму

Більш повним буде досліджена функція, якщо знайдемо проміжки опуклості функції за допомогою другої похідної.

Якщо для будь-яких точок x1 і x2 відрізка [a; b] січна AB проходить під графіком функції f (x), то функція f опукла вгору.

Аналогічно визначається функція, опукла вниз.

Двічі дифференцируемая на [a; b] функція f (x) опукла вгору, якщо для будь-кого.

Двічі дифференцируемая на [a; b] функція f (x) опукла вниз, якщо для будь-якого

Так, друга похідна функції дорівнює, звідки випливає, що квадратична функція опукла вниз на всій області визначення.

точка х0 називається точкою перегину функції f, якщо в цій точці змінюється напрямок її опуклості.

Необхідна умова наявності точки перегину. Якщо х0 - точка перегину функції f (x), і функція f (x) має другу похідну, безперервну в цій точці, то

Часто зустрічаються завдання, де потрібно знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку. На відрізку [a, b] функція y = f (x) може досягати найменшого або найбільшого значення або в критичних точках, або на кінцях відрізка [a, b].

Загальна схема побудови графіків функцій:

1) Знайти область визначення функції.

2) Дослідити функцію на парність або непарність, періодичність.

3) Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

4) Знайти точки розриву, асимптоти графіка функції.

5) Дослідити функцію за допомогою першої похідної (Знайти інтервали монотонності і екстремуми функції).

6) Дослідити функцію за допомогою другої похідної (Знайти інтервали опуклості і точки перегину).

7) Знайти додаткові точки, якщо це необхідно.

8) Побудувати графік, використовуючи отримані результати дослідження.

Приклад 1. Побудувати графік функції y = x 3 -6x 2 + 9x-3.

2) y (-x) = (- x) 3 -6 (-x) 2 +9 (-x) -3 = -x 3 -6x 2 -9x-3. функція не є ні парною, ні непарною. Функція неперіодичних.

3) Т. перетину з віссю Оу; х = 0, у = -3. (0; -3)

4) Функція не має точок розриву, отже, вертикальних асимптот немає.

Т.к немає і похилих асимптот.

5) Знайдемо похідну даної функції:

Вирішимо рівняння y '= 0: 3х 2 -12х + 9 = 0,

Досліджувана функція в проміжках х<1 и x>3 зростає, а на проміжку 1

Зручно представити результати дослідження в таблицю: