Сферичний трикутник і його застосування
Поняття сферичного трикутника
Сферичний трикутник - геометрична фігура на поверхні сфери, утворена перетином трьох великих кіл. Три великих кола на поверхні сфери, які не перетинаються в одній точці, утворюють вісім сферичних трикутників. Сферичний трикутник, всі сторони якого менше половини великого кола, називається ейлеровим.
Властивості сферичного трикутника
1. Крім трьох ознак рівності плоских трикутників, для сферичних трикутників вірний ще один: два сферичних трикутника рівні, якщо їх відповідні кути рівні.
2. Для сторін сферичного трикутника виконуються 3 нерівності трикутника: кожна сторона менше суми двох інших сторін і більше їх різниці.
3. Сума всіх сторін a + b + c завжди менше 2πR.
4. Величина 2πR - (a + b + c) називається сферичним дефектом
5. Сума кутів сферичного трикутника s = α + β + γ завжди менше 3π і більше π
6. Величина називається сферичним надлишком або сферичним ексцесом
7. Площа сферичного трикутника визначається за формулою. На відміну від плоского трикутника, у сферичного трикутника може бути два, і навіть три кути по 90 ° кожний.
Застосування сферичного трикутника в Астрономії
В астрономії сферична теорема косинусів дозволяє переходити з однієї системи координат на небесній сфері в іншу. Найчастіше використовуються три такі системи: у одній екватором служить небесний екватор, а полюсами - полюси світу, навколо яких відбувається видиме добове обертання світил; в іншої екватором є екліптика - коло, по якому протягом року відбувається видимий рух Сонця на тлі зірок; у третій роль екватора виконує горизонт, а роль полюсів - зеніт і надир. Зокрема, завдяки сферичної теоремі косинусів можна обчислювати висоту Сонця над горизонтом в різні моменти часу і в різні дні в році.
Теорема косинусів для сторін:
Теорема косинусів для кутів:
Застосування сферичного трикутника в географії
Сферична теорема косинусів дозволяє за координатами двох міст A і B знаходити відстань між ними. Крім того, математикам країн ісламу сферична теорема косинусів допомагала у вирішенні іншої практичної задачі: в місті з даними координатами знаходити напрямок на священне місто Мекку (всякий правовірний мусульманин повинен п'ять разів день молиться в напрямку Мекки). При вирішенні цього завдання, вважаючи місто B Меккою, потрібно знайти кут A того ж трикутника.
Розглянемо сферичний трикутник ABN, де N - північний полюс (припустимо для простоти, що обидві точки знаходяться в північній півкулі).
Мал. Знаходження відстані між двома точками на сфері
Тоді, якщо широта і довгота точки A рівні φA і λA, а точки B - φB і λB, то кутові величини сторін трикутника такі:
AN = π / 2 - φ A, BN = π / 2 - φ B,
кут при вершині N дорівнює (λA - λB),
і, по сферичної теоремі косинусів,
cos AB = cos (π / 2 - φA) cos (π / 2 - φB) + sin (π / 2 - φA) sin (π / 2 - φB) cos (λA - λB) = sin φA sin φB + cos φA cos φB cos (λA - λB).
Застосування сферичного трикутника в архітектурі
Вітрила в архітектурі - сферичний трикутник, який би перехід від квадратного в плані подкупольного простору до кола купола. Парус, пандатів (від фр. Pendentif) - частина зводу, елемент купольної конструкції, за допомогою якого здійснюється перехід від прямокутної основи до купольному перекриттю або його барабану. Парус має форму сферичного трикутника, вершиною опущеною вниз, і заповнює простір між арками, що з'єднують сусідні стовпи подкупольного квадрата. Підстави сферичних трикутників вітрил в сумі утворюють коло і розподіляють навантаження купола по периметру арок.
Мал. Купол на вітрилах
Мал. розпис вітрила
Застосування сферичного трикутника в дизайні
"Дизайнер може трохи розслабитися і розважитися; в результаті може виникнути жарт, забава. Дивно, як часто це буває дуже значна забава" Джордж Нельсон
Джордж Нельсон - американський дизайнер, архітектор, критик і теоретик дизайну. (1908, Хартфорд, Коннектикут - 1986, Нью-Йорк)
Найбільш відомі дизайн проекти Джорджа Нельсона є віртуозну стилізацію геометричних форм в дусі оп-арту або геометричного абстракціонізму.
Форму свого знаменитого чорного стільця дизайнер будує на основі сферичного трикутника, широко використовувався в архітектурних конструкціях купольних споруд.
Джордж Нельсон Чорний стілець
Застосування сферичного трикутника в гравюрі
Торцева гравюра 24 на 24 см.
Чотири порожнисті концентричні сфери висвітлені центральним джерелом світла. Кожна сфера складається з сітки, утвореної дев'ятьма великими пересічними кільцями; вони членують сферичну поверхню на 48 подібних сферичних трикутників.
Гравюра Ешера Мауріц Корнеліс Ешер
Відомі географічні координати - широта і довгота пунктів А і В земної поверхні а. b. а. b потрібно знайти найкоротший відстань між пунктами А і В уздовж земної поверхні. (Радіус Землі вважається відомим. R = 6371км).
Широтою пункту М земної поверхні називається величина м кута, утвореного радіусом ОМ, де Про центр Землі, з площиною екватора: -90 ° м 90 . причому на північ від екватора широта вважається позитивною, а на південь - негативною. Довгота м пункту М є величина двогранного кута між площинами СОМ і СОН, де С - північний полюс, а Н - точка. відповідає грінвічській обсерваторії: -180 м 180 (на схід від Гринвічем меридіана довгота вважається позитивною, на захід - негативною).
Найкоротша відстань ме жд у пунктами А і В земної поверхні - це довжина меншої з дуг більшої окружності, вона називається ортодромії, що з'єднує А з В. Тому наше завдання зводиться до визначення довжини сторони А В сферіческог про трикутника ABC. Сферичне відстань від п ункта А до В знаходимо за формулою: AB S = R АОВ
Для того, щоб знайти АОВ необхідний про знати AOC. СОА, C. Нехай СОВ = . тоді:
а = 90 ° - BOK. т.к COK = 90 °, тобто
= 90 ° - в. Нехай C O A = . тоді,
C висловимо через координати т очку А і В. За визначенням C 180 °
Потім знаходимо АОВ Нехай AOB = . тоді:
Cos = cos cos + sin sincosC - по теоремі косинусів
знаючи косинус , знаходимо АВС;
Мореплавець Христофор Веспуччі проплив 1800 миль в одному напрямку з точки А до точки В, повернув на 60 градусів і проплив в новому напрямку ще 2700 миль, виявився в точці С. Потрібно знайти відстань між точками А ІС (по поверхні земної кулі).
Позначимо через a. b і з довжини ДЕГ ВС, АС і АВ відповідно, - внутрішній кут при вершині В сферичного трикутника АВС. тоді
де R - радіус земної кулі, виражений в морських милях.
По теоремі косинусів для сферичного трикутника
За таблицями або за допомогою калькулятора знаходимо, що
Отже, довжина дуги АС = b дорівнює b = R * 0.90662 = 3437.4 * 0.90662 3116.7 миль.
Відповідь: 3117 морських миль 5772 км.