Середня лінія трикутника

Розглянемо трикутник $ ABC $, де $ _1, \ _1, \ _1 $ його медіани. Так як медіани ділять боку навпіл. Розглянемо середню лінію $ A_1B_1 $ (Рис. 3).

Малюнок 3. Ілюстрація слідства 1

По теоремі 1, $ AB || A_1B_1 $ і $ AB = 2A_1B_1 $, отже, $ \ angle ABB_1 = \ angle BB_1A_1, \ \ angle BAA_1 = \ angle AA_1B_1 $. Значить трикутники $ ABM $ і $ A_1B_1M $ подібні за першою ознакою подібності трикутників. тоді

Аналогічно доводиться, що

Слідство 2: Три середні лінії трикутника ділять його на 4 трикутника, подібних вихідного трикутника з коефіцієнтом подібності $ k = \ frac $.

Розглянемо трикутник $ ABC $ із середніми лініями $ A_1B_1, \ _1C_1, \ B_1C_1 $ (рис. 4)

Малюнок 4. Ілюстрація слідства 2

Розглянемо трикутник $ A_1B_1C $. Так як $ A_1B_1 $ - середня лінія, то

Кут $ C $ - загальний кут цих трикутників. Отже, трикутники $ A_1B_1C $ і $ ABC $ подібні за другою ознакою подібності трикутників з коефіцієнтом подібності $ k = \ frac $.

Аналогічно доводиться, що трикутники $ A_1C_1B $ і $ ABC $, і трикутники $ C_1B_1A $ і $ ABC $ подібні з коефіцієнтом подібності $ k = \ frac $.

Розглянемо трикутник $ A_1B_1C_1 $. Так як $ A_1B_1, \ _1C_1, \ B_1C_1 $ - середні лінії трикутника, то

Отже, по третьому ознакою подібності трикутників, трикутники $ A_1B_1C_1 $ і $ ABC $ подібні з коефіцієнтом подібності $ k = \ frac $.

Приклади завдання на поняття середньої лінії трикутника

Дан трикутник зі сторонами $ 16 $ см, $ 10 $ см і $ 14 $ см. Знайти периметр трикутника, вершини якого лежать в серединах сторін даного трикутника.

Так як вершини шуканого трикутника лежать в серединах сторін даного трикутника, то його боку - середні лінії вихідного трикутника. За слідству 2, отримаємо, що сторони шуканого трикутника рівні $ 8 $ см, $ 5 $ см і $ 7 $ см.

Дан трикутник $ ABC $. Точки $ N \ і \ M $ - середини сторін $ BC $ і $ AB $ відповідно (Рис. 5).

Периметр трикутника $ BMN = 14 $ см. Знайти периметр трикутника $ ABC $.

Так як $ N \ і \ M $ - середини сторін $ BC $ і $ AB $, то $ MN $ - середня лінія. значить

По теоремі 1, $ AC = 2MN $. отримуємо: