Середня гармонійна - середні величини і показники варіації

Середня гармонійна

Вид середньої визначається характером взаємозв'язку визначає показника з осередненою.

Середня арифметична, як було показано вище, застосовується в тих випадках, коли відомі варіанти варьирующего ознаки х і їх частоти.

Коли статистична інформація не містить частот по окремих варіантів x сукупності, а представлена ​​як їх твір. застосовується формула середньої гармонійної зваженої. Щоб обчислити середню, позначимо. звідки w / x. Тепер перетворимо формулу середньої арифметичної таким чином, щоб за наявними даними х і w можна було обчислити середню. У формулу середньої арифметичної зваженої (5.4) замість підставимо w, замість - відношення w / x і отримаємо формулу середньої гармонійної зваженої:

З формули (5.9) видно, що середня гармонійна - середня зважена з варіюють зворотних значень ознаки. Вона є перетвореною формою арифметичної середньої і тотожна їй. Замість гармонійної завжди можна розрахувати середню арифметичну, але для цього спочатку потрібно визначити ваги окремих значень ознаки, приховані в вагах середньої гармонійної.

Таким чином, середня гармонійна застосовується тоді, коли невідомі дійсні ваги. а відомо,

тобто в тих випадках, коли середня призначається для розрахунку сум доданків, назад пропорційних величині цього показника, коли підсумовування підлягають не самі варіанти, а зворотні їм величини.

Ціна і виручка від реалізації за трьома комерційним магазинах

Розрахунок середньої ціни виражається співвідношенням:

Виручка від реалізації, руб

Кількість реалізованих одиниць, кг

Визначальним показником тут є чисельник цієї логічної формули. Виручка від реалізації w відома (чисельник), а кількість реалізованих одиниць - невідомо, але може бути знайдено як частка від ділення одного показника на інший, для чого потрібно окремо по кожному магазину розділити виручку на ціну.

Тоді середня ціна 1 кг яблук, руб. по трьом комерційним магазинах може бути обчислена за формулою (5.9) середньої гармонійної зваженої:

Цей же результат вийде і за середньої арифметичної зваженої, якщо в якості ваг прийняти кількість проданих одиниць (які необхідно попередньо розрахувати), руб .:

Отримана середня ціна 1 кг яблук є реальною величиною, її твір на всю кількість проданих яблук дає загальний обсяг реалізації, який виступає в ролі визначального показника (7780 руб).

Обчислення середньої гармонійної зваженої по формулі (5.9) звільняє від необхідності попереднього розрахунку ваг, оскільки ця операція закладена в саму формулу.

У тих випадках, коли вага кожного варіанта дорівнює одиниці (індивідуальні значення зворотного ознаки зустрічаються по одному разу), застосовується середня гармонійна проста, що розраховується за формулою:

де - окремі варіанти зворотного ознаки, що зустрічаються по одному разу;

n - число варіантів.

Приклад. У підприємця є два автомобілі різних моделей, що працюють на бензині однаковою марки. Витрата бензину у першого автомобіля дорівнює 0,05 л / км, у другого - 0,08 л / км. Який середня витрата бензину на 100 км (або 1 км) пройденого шляху?

Може здатися, що рішення цього завдання полягає в розрахунку середньої арифметичної простої, тобто витрата, л / км, дорівнює (0,05 + 0,008). 2 = 0,065.

Однак такий розрахунок є помилковим. Покажемо це на прикладі одного і того ж кількості витраченого бензину. Припустимо, витрата бензину на поїздку склав 40 л (як буде показано нижче, конкретна цифра значення не має). На 40 л бензину перша машина пройде 800 км, тобто (40. 0,05), пробіг другий - складе 500 км, тобто (40. 0,08), отже, загальний пробіг дорівнює 1300 км.

Якщо середня обчислена правильно, то при заміні індивідуальних значень їх середнім не повинен змінитися визначальний показник - в даному випадку загальний пробіг.

Беручи = 0,065 л / км, загальний пробіг, км, виявляється менше на 69,23 км, так як 40. 0,065 + 40. 0,065 = 1230,77, що підтверджує хибність виконаного розрахунку простої середньої.

Правильне рішення цього завдання має в своїй основі містити вихідне (логічне) співвідношення середньої.

Для того щоб визначити середню витрату бензину на 1 км

пройденого шляху (, л / км), необхідно загальний витрата бензину поділити на сумарний пробіг обох автомобілів:

або 6,15 л на 100 км.

Як бачимо, розрахунок зведений до обчислення середньої гармонійної простої (при цьому конкретну кількість витраченого бензину ролі в розрахунку не грає, головне, щоб воно було однаковим).

При заміні індивідуальних значень ознаки їх середньої () загальний пробіг не зміниться:

Якщо по двох частинах сукупності (чисельності n1 і n2) дані середні гармонійні, то загальну середню гармонійну по всій сукупності можна уявити як зважену гармонійну середню з групових середніх:

Для закріплення знань по темі розглянемо задачу на застосування в розрахунках середньої арифметичної і середньої гармонійної.

Інформація про вклади в банку для розрахунку середніх значень

Шляхом ділення суми вкладів w кожного виду на їх середній розмір вкладу х можна визначити ваги - число вкладів f за їх видами, а потім визначити середній розмір вкладу за двома видами за формулою середньої арифметичної зваженої. Однак, якщо в розрахунку використовувати середню гармонійну зважену, то відпадає необхідність попередніх розрахунків ваг - розмірів вкладів за кожним видом, оскільки ця операція закладена в саму формулу.

Якщо Ви помітили помилку в тексті виділіть слово і натисніть Shift + Enter