Розрахунок теоретичних частот

Наочно розбіжність емпіричних і теоретичних частот можна показати за допомогою полігону (рис. 3).

Малюнок 2. Полігон теоретичних і емпіричних частот

3 етап: перевірка гіпотези про закон розподілу житла ?? ення.

Як би добре не був підібраний теоретичний закон распредел ?? ення, між емпіричним і теоретичним распредел ?? еніямі неминучі розбіжності. Закономірно виникає питання: пояснюються ці розбіжності тільки випадковими обставинами, пов'язаними з обмеженим числом спостережень, або вони є суттєвими і пов'язані з тим, теоретичний закон распредел ?? ення підібраний невдало. Для відповіді на це питання служать критерії згоди.

Нехай вкрай важливо перевірити нульову гіпотезу H0 про те, що досліджувана випадкова величина X підпорядковується определ ?? енному закону распредел ?? ення. Для перевірки гіпотези H0 вибирають деяку випадкову величину U. характеризує ступінь розбіжності теоретичного та емпіричного распредел ?? ень, закон распредел ?? ення якої при досить великих n відомий і практично не залежить від закону розподілу житла ?? ення випадкової величини X.

Знаючи закон распредел ?? ення U. можна знайти ймовірність того, що U прийняла значення не менше, аніж фактично спостерігається в досвіді u. ᴛ.ᴇ. . У разі якщо мала, то це означає відповідно до принципу практичної впевненості, що такі як в досвіді, і бóльшие відхилення практично неможливі. В цьому випадку гіпотезу H0 відкидають. У разі якщо ж вірогідність не мала, розбіжність між емпіричним і теоретичним распредел ?? еніямі неістотно і гіпотезу H0 можна вважати не суперечить дослідним даним.

Найбільш часто в практиці статистичних досліджень використовуються критерії згоди К. Пірсона (хі-квадрат), В.І. Романовського, А.Н. Колмогорова, Б.С. Ястремського.

В # 967; 2-критерій Пірсона в якості запобіжного розбіжності U береться величина # 967; 2. рівна:

яка має # 967; 2 -распредел ?? ення з ступенями свободи, де m - число інтервалів емпіричного распредел ?? ення (варіаційного ряду); r - число параметрів теоретичного розподілу житла ?? ення.

схема застосування # 967; 2-критерію для перевірки гіпотези H0 зводиться до наступного:

1) визначається міра розбіжності емпіричних і теоретичних часто # 967; 2;

2) для заданого рівня значущості # 945; (Як правило, приймається на рівні 0,05 або 0,01) по довідковій таблиці # 967; 2 -распредел ?? ення знаходять критичне значення при числі ступенів свободи;

3) якщо розрахункове значення # 967; 2 більше критичного, ᴛ.ᴇ. , То гіпотеза H0 відхиляється, в разі якщо, то гіпотеза H0 який суперечить дослідним даним.

Примітка: статистика # 967; 2 має # 967; 2 -распредел ?? ення лише при, в зв'язку з цим вкрай важливо. щоб в кожному інтервалі була достатня кількість спостережень, по крайней мере, не менше 5. У разі якщо будь-якої інтервал не задовольняє даній вимозі, то має сенс об'єднати його з сос ?? єднім таким чином, щоб в об'єднаю ?? енних інтервалах. В даному випадку параметр m при розрахунку числа ступенів свободи зменшується на число таких об'єднаю ?? енних інтервалів.

На практиці крім критерію # 967; 2 часто використовують критерій Колмогорова, в якому в якості запобіжного розбіжності між теоретичним і емпіричним распредел ?? еніямі розглядають максимальне значення абсолютної величини різниці між емпіричної і теоретичної функціями распредел ?? ення:

зване статистикою критерію Колмогорова.

Схема застосування критерію Колмогорова:

1) будуються емпірична функція розподілу житла ?? ення і передбачувана теоретична;

2) визначається міра розбіжності між теоретичним і емпіричним распредел ?? еніем D і обчислюється величина:

3) якщо обчислене значення # 955; виявиться не більше критичного # 955; # 945; . определ ?? енного на рівні значущості # 945; (# 955; 0,05 = 1,36; # 955; 0,01 = 1,63), то нульова гіпотеза H0 який суперечить дослідним даним.

Примітка: застосування критерію Колмогорова в принципі можливо лише тоді, коли теоретична функція распредел ?? ення задана повністю. При цьому такі випадки в практиці зустрічаються рідко. Зазвичай з теоретичних міркувань відомий лише вид функції розподілу житла ?? ення, а її параметри визначаються за емпіричними даними. При застосуванні критерію # 967; 2 ця обставина враховується відповідним зменшенням числа ступенів свободи. Такого роду поправок в критерії Колмогорова не передбачено. З цієї причини, у разі якщо при невідомих значеннях параметрів застосувати критерій Колмогорова, взявши за значення параметрів їх оцінки, обчислені за вибіркою, то отримаємо завищене значення ймовірності, і, отже, бóльше критичне значення # 955; # 945; . В результаті є ризик в ряді випадків прийняти нульову гіпотезу H0 про закон распредел ?? ення випадкової величини як правдоподібну, в той час як на самому справ ?? е вона суперечить дослідним даним.

Приклад 7.7. За даними прикладів 7.3 і 7.5 на рівні значущості # 945; = 0,05 перевірити гіпотезу H0 про те, що випадкова величина Х - число пошкоджених виробів, распредел ?? ена за законом Пуассона.

Для определ ?? ення статистики # 967; 2 складемо таблицю:

Читайте також

Рішення Користуючись отриманою в прикладі 7.3 формулою, знайдемо відповідні ймовірності при k = xi, потім, перемноживши їх на n, отримаємо відповідні теоретичні частоти. Результати розрахунків представимо у вигляді таблиці: Таблиця 6 k P500 (k) 0,368. [Читати далі].