Розподіл ймовірностей, математика, fandom powered by wikia

визначення Правити

Визначення 1. Нехай задано ймовірнісний простір, і на ньому визначена випадкова величина. Зокрема, за визначенням, є вимірним відображенням вимірного простору в вимірний простір, де позначає борелевская сигма-алгебру на. Тоді випадкова величина індукує ймовірнісну міру на такий спосіб:

Міра називається розподілом випадкової величини.

Способи завдання розподілів Правити

Визначення 2. Функція називається (кумулятивної) функцією розподілу випадкової величини. З властивостей ймовірності випливає

Теорема 1. Функція розподілу будь-якої випадкової величини задовольняє наступним трьом властивостям:

1. - функція неубутна;
2. ;
3. неперервна справа.

З того факту, що борелевская сигма-алгебра на речовій прямий породжується сімейством інтервалів виду, випливає

Теорема 2. Будь-яка функція, яка задовольнить трьом властивостям, перерахованим вище, є фукцией розподілу для якогось розподілу.

Для імовірнісних розподілів, що володіють певними властивостями, існують більш зручні способи завдання його завдання.

Дискретні розподілу Правити

Визначення 2. Випадкова величина називається простий або дискретної. якщо вона приймає не більше, ніж рахункове число значень. Тобто, де - розбиття.

Розподіл простий випадкової величини тоді за визначенням задається:. Ввівши позначення, можна задати функцію. Очевидно, що . Використовуючи лічильну адитивність, легко показати, що ця функція однозначно визначає розподіл.

Визначення 3. Функція, де часто називається дискретним розподілом.

Приклад 1. Нехай функція задана таким чином, що і. Ця функція задає розподіл випадкової величини такої, що.

Теорема 3. Дискретне розподіл має такі властивості:

1. ;
2. .

Безперервні розподілу Правити

Безперервне розподіл - розподіл ймовірностей, що не має атомів. Будь-який розподіл ймовірностей є суміш дискретного і безперервного.

Абсолютно безперервні розподілу Правити

Визначення 4. Розподіл випадкової величини називається абсолютно безперервним, якщо існує невід'ємна функція, така що. Функція тоді називається щільністю розподілу випадкової величини.

Приклад 2. Нехай, коли, і інакше. Тоді, якщо.

Очевидно, що для будь-якої щільності розподілу вірно рівність. Верна і зворотна

Теорема 4. Якщо функція така, що:

1. ;
2. ,

то існує розподіл таке, що є його щільністю.

Просто застосування формули Ньютона-Лейбніца призводить до простого співвідношенням між кумулятивною функцією і щільністю абсолютно неперервного розподілу.

Теорема 5. Якщо - безперервна щільність розподілу, а - його кумулятивна функція, то

1. .