Розмірність векторних підпросторів »лінійна алгебра

п.3. Розмірність векторних підпросторів.

Теорема. (Про розмірності лінійної оболонки.)

Нехай V - векторний простір над полем K і - довільна система векторів з V. Тоді,

якщо система векторів - лінійно незалежна, то ця система є базисом лінійної оболонки і.

Доведення. З визначення лінійної оболонки слід, що система є породжує системою векторного простору. За умовою теореми, система є лінійно незалежної, отже, вона є базисом лінійної оболонки L, ч.т.д.

Теорема. Будь-яке векторне підпростір L конечномерного векторного простору V саме є конечномірні і, причому, якщо, то.

1) Якщо L - нульове підпростір, то воно за визначенням належить конечномірні і його розмірність за визначенням вважається рівним нулю.

2) Нехай, тепер, L - нульове підпростір і існує ненульовий вектор. Тоді система з одного ненульового вектора є лінійно незалежною.

Припустимо, що підпростір L не володіє кінцевою породжує системою векторів. Тоді підпростір L не володіє максимальною лінійно незалежною системою векторів, так як будь-яка максимальна лінійно незалежна система є породжує системою (див. Доведення теореми про чотири рівносильних визначеннях базису, перехід, пункт а) докази).

Таким чином, система є лінійно незалежної, але не максимальної. Отже, існує вектор, такий, що система є лінійно незалежної і не максимальної. Продовжуючи далі, ми приходимо до лінійно незалежної системи з -го вектора з підпростору L. Але і ми отримуємо лінійно незалежну систему векторів векторного простору V, в якій число векторів більше його розмірності, що неможливо. Отримане протиріччя доводить, що будь-який векторний підпростір L конечномерного векторного простору V володіє кінцевою породжує системою і саме є конечномірні.

Далі, будь-конечномерное векторний простір має базисом. Нехай - базис підпростору L, тоді і. Так як, то система є лінійно незалежна система векторів векторного простору V, і число векторів в ній не може перевищувати його розмірності, тобто , Ч.т.д.

2) Якщо і, то базис підпростору L є і базисом простору V, так як система лінійно незалежна і. Отже,.

Слідство. Будь-базис векторного підпростору може бути доповнений до базису всього простору.

Доведення. Будь-базис векторного підпростору векторного простору V є лінійно незалежною системою векторів векторного простору V, яку можна доповнити до базису.