Розкриття таємниці цифрового кореня

Для початку розглянемо визначення цифрового кореня, взяте з англомовної Вікіпедії з моїм переведенням:

Цифровий корінь натурального числа - це цифра, отримана в результаті ітеративного процесу підсумовування цифр, на кожній ітерації якого для підрахунку суми цифр беруть результат, отриманий на попередній ітерації. Цей процес повторюється до тих пір, поки не буде отримана одна цифра.
Наприклад цифровий корінь 65,536 це 7, тому що 6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25 і 2 + 5 = 7.

Для початку зауважимо очевидне властивість (dr (n) - цифровий корінь числа n):

Далі доведемо наступний факт: Сума цифр числа n має такий же залишок при діленні на 9, як і число n.

У доказі нам знадобиться формула, доведемо її по індукції:
База.
Перехід. .
Потрібно довести. просто розпишемо
Таким чином ми довели по індукції, що.

Повертаючись до основної теми доказу. Нехай, тоді: n = ak · 10 k + ak - 1 · 10 k - 1 +. a1 · 10 + a0. За щойно доведеною формулою: отже. Що й потрібно було довести.

Тепер по щойно доведеним твердженням зрозуміло, що залишок при діленні на 9 - інваріант щодо взяття цифрового кореня, а оскільки сума цифр числа менше самого числа, якщо число більше 9, справедливі наступні дві формули:

Ці дві формули можна зібрати об'єднати формулою:

З цієї формули, наприклад, слід періодичність цифрового кореня.

Будь-яке завдання про цифровий корінь стає легше при знанні цього нескладного факту, сподіваюся, що кому-небудь цей пост здасться корисним.

Підтримано грантом для обдарованої молоді А. А. Шалит.