Розкладання многочленів на Непріводімие множники - студопедія

Основна теорема алгебри.

Будь неконстантний многочлен над полем комплексних чисел має хоча б один корінь.

Слідство 1. Будь-неконстантний многочлен над полем комплексних чисел розкладемо в добуток лінійних множників:

Тут - старший коефіцієнт многочлена, - все різні комплексні корені многочлена, - їх кратності. Повинно виконуватися рівність

Доказ цього слідства можна провести індукцією за ступенем многочлена. Для лінійного многочлена твердження тривіально. Нехай твердження слідства справедливо для многочленів ступеня менше ніж і нам дано многочлен ступеня Згідно з основною теоремою алгебри комплексних чисел, многочлен має корінь. По теоремі Безу, різниця ділить. тобто Многочлен має ступінь і до нього може бути застосовано припущення індукції. Розкладаючи а лінійні множники, ми тим самим розкладемо і многочлен на лінійні множники. Після це слід зібрати в одну ступінь лінійні множники з однаковими корінням?

Слідство 2. Будь-який неконстантний многочлен над полем дійсних чисел розкладемо в добуток лінійних множників і квадратних тричленів з негативними Дискримінант:

Тут - все різні дійсні корені многочлена. - їх кратності, все дискримінанти менше нуля, і квадратного тричлена все різні.

Доказ слідства 2 спирається на лемму

Лемма. Нехай - комплексний корінь многочлена з дійсними коефіцієнтами. Тоді поєднане число є також корінь.

Доказ леми. Нехай. За умовою . тоді

Тут використовувалося рівність і гомоморфності сполучення.

Доказ слідства 2 проводимо також по індукції як і доказ слідства 1. База індукції ясна, обгрунтуємо індукційний перехід. Нехай - комплексний корінь многочлена. Якщо. то закінчуємо також як і в доведенні слідства 1. Нехай. тобто . Тоді по теоремі Безу, многочлен представимо у вигляді

Позначимо. тобто . Так як

то і - дійсні числа. Тоді і - многочлен з дійсними коефіцієнтами, до якого можна застосувати індукційне припущення.

Доказ леми закінчено.

Приклади. А. Розкладемо многочлен на Непріводімие множники. Серед дільників константного члена 6 шукаємо корені многочлена. Переконуємося, що 1 і 2 - коріння. Тим самим многочлен ділиться на. Поділивши, знаходимо

- остаточний розпад над полем. бо дискримінант квадратного тричлена від'ємний і, отже, він над полем дійсних чисел надалі не розкладемо. Розкладання того ж многочлена над полем комплексних чисел одержимо, якщо знайдемо комплексні корені квадратного тричлена. Вони суть. тоді

- розкладання даного многочлена над

Б. Розкладемо над полями дійсних і комплексних чисел. Так як дійсних коренів цей многочлен не має, то він розкладемо на два квадратних трехчлена з негативними Дискримінант

Так як при заміні на многочлен не змінюється, то при такій заміні квадратний тричлен має переходити в і навпаки. Звідси і. Прирівнюючи коефіцієнти при отримуємо Зокрема,. Тоді зі співвідношення (виходить підстановкою витягаємо. І остаточно,. Отже,

- розкладання над полем дійсних чисел.

Для того, щоб розкласти даний многочлен над комплексними числами, вирішимо рівняння за формулою (3) п. 4. Тут. отже,

- розкладання над комплексними числами. легко обчислити

і ми отримуємо інше рішення задачі про розкладанні многочлена над полем дійсних чисел.