Розгалужені циклічні процеси

Проведемо такі елементарні перетворення над рядками цієї матриці:

2-й рядок додамо до 3-му рядку;

отриману 3-ю рядок додамо до 4-му рядку;

отриману 4-й рядок додамо до 5-му рядку;

отриману (m-1) -ю рядок додамо до m -му рядку;

отриману m-й рядок помножимо послідовно на

і додамо відповідно до (m +1) -й, (m +2) -й. (M + i) - йстроке;

отриману (п -1) -ю рядок додамо до п-йстроке.

В результаті цих перетворень отримаємо матрицю наступного виду:

Перша і остання рядки цієї матриці пропорційні, а тому одну з них, наприклад першу, можна відкинути.

Отримана після відкидання 1-го рядка матриця породжує наступну систему лінійних рівнянь:

Звідси фінальні ймовірності

можна виразити через фінальну ймовірність

:

. Підставляючи знайдене вираз в (6) отримуємо доказувані формули.

В якості системи S візьмемо банкомат. Банкомат може перебувати в наступних станах:

S1 - справний, працює;

S2 - несправний, ведеться пошук несправності;

S3 - негайно після виявлення пошкодження і виявилася незначною, ремонтується місцевими засобами;

S4 - негайно після виявлення пошкодження і виявилася серйозною, ремонт ведеться запрошеним з боку фахівцем;

S5 - ремонт законний, ведеться підготовка до включення банкомату.

Процес, що протікає в системі - однорідний, марковский, тому що всі потоки подій, під впливом яких відбуваються переходи банкомату зі стану в стан, - найпростіші.

Середній час справної роботи банкомату [2] одно

місяць; середній час пошуку несправності банкомату одно

години; середній час ремонту місцевими засобами одно

години; середній час ремонту банкомату фахівцем одно

дня; середній час підготовки банкомату до роботи

Імовірність того, що несправність виявилася незначною і може бути усунена місцевими засобами р = 0,8. Імовірність же того, що несправність серйозна і без фахівця не обійтися 1-р = 0,2.

Якщо банкомат працює справно, то вартість його обслуговування становить 100 рублів в день [3]; одну годину роботи фахівця з усунення несправностей становить 200 рублів на годину. В інших станах вартість утримання банкомату дорівнює величині амортизації і становить 7 рублів в день.

Рішення: граф станів системи буде мати вигляд:

Наведемо дані в умові завдання до однієї одиниці, наприклад, добу:

Як вже було сказано вище процес, що протікає в системі, - однорідний, марковский і до того ж він є ветвящимся циклічним з безперервним часом, тоді ми можемо скористатися отриманими вище формулами:

,

,

,

,

рублів за добу, тоді за рік ця сума складе приблизно 70 100 рублів.

Таким чином, ми на практиці переконалися, що теорія про розгалужених циклічних процесах, можливо і не має можливості для широкого застосування, але, тим не менш, є простим і дієвим інструментом при плануванні різних економічних процесів.

Але треба враховувати, що це всього лише маленьке відгалуження теорії про марковских процесах, на якій, в свою чергу, базуються багато інших теорії, зокрема теорія про масове обслуговування в економічній сфері.

[1] Вірогідність станів системи в фінальному стаціонарному режимі, при якому вони вже не залежать ні від часу, ні від початкового розподілу вірогідності, називаються фінальними імовірностями

[3] включається спожите банкоматом електрику і робота з готівкою банкомати