Розділ 2 - обчислення в ms excel певних інтегралів

Мета роботи: Освоєння прийомів роботи в Ms Excel при обчисленні сум і інтегралів.

1. Наближене обчислення визначених інтегралів методом прямокутників і методом трапецій.

2. Наближене обчислення довжини кривої.

3. Проведення експериментів і рішення задач.

Пояснення до виконання роботи

1. З геометричної точки зору певний інтеграл

- є площа фігури, обмеженої графіком функціїі прямими,,. функціяназивається підінтегральної функцією.

Щоб наближено обчислити цю площу, розділимо інтервал інтегрування

нарівних відрізків довжиноюкожен. Тоді координата лівого концаi -го відрізка визначається за формулою , де,. Найпростіший наближений розрахунок площі під кривоюполягає в знаходженні суми площ прямокутників, у кожного з яких підстава збігається з відрізком, а висота дорівнює значенню функції в точці(Метод лівих прямокутників). Можна висоту брати дорівнює значенню функції в точці(Метод правих прямокутників) або в точці(Метод центральних прямокутників). При використанні методу лівих прямокутників формула для обчислення площі виглядає наступним чином:

.

Можна підвищити точність обчислення певного інтеграла, якщо замінити на кожному інтервалі

,дугу графікавідрізком (хордою), що з'єднує точки з координатамиі. В цьому випадку фігура, обмежена графіком функції і прямими,, наближено замінюючи не прямокутником, а трапецією, і шуканий певний інтеграл розраховується як сума площ всіх таких трапецій:

.

Формула може бути істотно спрощена, але ми залишимо це для курсу обчислювальної математики (зараз можете спробувати спростити її самостійно).

2. Заміна графіка функції

хордами, описана в методі трапецій, дозволяє за допомогою електронних таблиць досить легко визначати наближене значення довжини дуги графікана інтервалі. У цьому завданні розглянута крива представляється у вигляді ламаної, довжина s якої дорівнює сумі довжин її ланок. довжинуланки, побудованого на відрізку, можна знайти як довжину гіпотенузи прямокутного трикутника з катетами, рівнимиі, використовуючи відому теорему Піфагора. В результаті підсумовування довжин всіх ланок, отримуємо:

.

Слід зазначити, що точність наближеного обчислення інтегралів залежить від величини

, тобто від кількості відрізків, на які розбивається інтервал інтегрування. При відсутності похибок округлення, чим більше, тим вище точність (з ростомN похибка обчислень сходиться до нуля).

3. Як приклад обчислимо інтеграл

з точністю представлення результатів обчислень до 4 знаків після коми.

У осередок А6 вводимо нижню межу інтервалу інтегрування

, рівну 0,5. У наступну ячейкуА7 вводимо значення 0,51, віддалені від нижньої межі на крок . Рекомендується вибирати крок в залежності від необхідної точності обчислення інтеграла. Потім виділяємо обидві ячейкіА6 і А7. У правій нижній частині виділеної області є жирна чорна точка - маркер заповнення, - тягнемо її мишкою вниз, поки не отримаємо число, відповідне верхньої межі інтеграла, т. Е. Значенням . Це досягається в ячейкеА206.

Виділимо мишкою столбциС. Е і G. вказуючи мишкою їх заголовки. Викличемо за допомогою правої кнопки миші контекстне меню виділених стовпців і виберемо в ньому опцію Формат ячеек. Далі, на закладці Число. виберемо в якості числового формату - Числовий і вкажемо відображене число десяткових знаків 4. Натиснемо клавішу ОК.

3.1. Тепер обчислимо визначений інтеграл за допомогою методу лівих прямокутників. Для цього введемо в осередок С6 формулу = (А7-А6) * (Ln (А6)) (величина логарифма і є висота відповідного прямокутника). Виділимо осередок С6 і протягнемо маркер заповнення вниз, до осередку С205. Таким чином, в стовпці C ми отримали площі всіх прямокутників.

Виділимо осередок С206 і натиснемо на кнопку Автосумма на панелі За умовчанням. Натиснемо Enter, підтверджуючи цим запропоновану формулу. В результаті отримаємо суму всіх вище розташованих чисел в стовпці, т. Е. Значення інтеграла, обчислене методом прямокутників.

3.2. Обчислимо визначений інтеграл за допомогою методу трапецій. Для цього введемо в клітинку Е6 наступну формулу = (А7-А6) * (Ln (А7) + Ln (А6)) / 2. Виділіть клітинку Е6 і простягніть маркер заповнення вниз до комірки Е205. Так ми вирахували площі всіх трапецій. Виділивши осередок Е206. обчисліть їх суму за допомогою кнопки Автосумма на панелі За умовчанням. Ми отримали значення інтеграла, знайдене методом трапецій.

3.3. Обчислимо довжину графіка функції

на інтервалі [0,5; 2,5].

Для обчислення довжин хорд введіть у комірку G6 формулу = ((A7-A6) ^ 2 + (Ln (A7) -Ln (A6)) ^ 2) ^ (0,5). Виділіть клітинку G6 і простягніть маркер заповнення вниз до комірки G205. В осередку G206. використовуючи Автосума. знайдіть наближене значення шуканої довжини графіка.

3.4. Повторіть в сусідніх стовпцях всі розрахунки при меншому кроці інтегрування, наприклад, при кроці 0,001. Порівняйте результати з отриманими раніше. Проаналізуйте їх і зробіть висновки.

3.5. Обчислення провести за спрощеним варіантом і записати в звіт.