Ряд, утворений геометричною прогресією

Необхідна умова збіжності ряду.

Теорема про необхідну умову збіжності ряду.

Якщо ряд сходиться, то межа послідовності загальних членів цього ряду дорівнює нулю:

Інша формулювання. Для того щоб ряд сходився, необхідно (але недостатньо!), Щоб межа послідовності загальних членів ряду дорівнював нулю.

Зауваження. Іноді для стислості слово «послідовність» опускають і кажуть: «межа загального члена ряду дорівнює нулю». Те ж для послідовності часткових сум ( «межа часткової суми»).

Доказ теореми. Уявімо загальний член ряду у вигляді (1.10):

За умовою ряд сходиться, отже, Очевидно, що і. тому п і п -1 прагнуть до нескінченності одночасно. Знайдемо межа послідовності загальних членів ряду:

Зауваження. Протилежне твердження невірно. Ряд, що задовольняє умові (1.11), не обов'язково збігається. Тому умова, або ознака (1.11) є необхідною, але не є достатньою ознакою збіжності ряду.

Приклад 1. Гармонійний ряд. Розглянемо ряд

Цей ряд називається гармонійним, тому що кожен його член, починаючи з другого, є середнім гармонійним сусідніх з ним членів:

Загальний член гармонійного ряду задовольняє необхідній умові збіжності ряду (1.11): (ріс.1.3.1). Однак в подальшому буде показано (за допомогою інтегрального ознаки Коші), що цей ряд розходиться, тобто його сума дорівнює нескінченності. На ріс.1.3.2 показано, що часткові суми необмежено зростають при збільшенні номера.

Слідство. З необхідної умови збіжності ряду випливає остаточний признак розбіжність ряду: якщо або не існує, то ряд розходиться.

Доведення. Припустимо гидке, тобто (Або не існує), але ряд сходиться. Але відповідно до теореми про необхідну умову збіжності ряду межа загального члена має дорівнювати нулю:. Протиріччя.

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд із загальним членом.

Даний ряд має вигляд:

Знайдемо межа загального члена ряду:

. Згідно зі слідством даний ряд розходиться.

Ряд, утворений геометричною прогресією

Розглянемо ряд, складений з членів геометричної прогресії. Нагадаємо, що геометричною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число, не рівне нулю і зване знаменником цієї прогресії. Геометрична прогресія має вигляд:

а ряд, складений з її членів:

Такий ряд називається геометричним поруч, але іноді для стислості його називають просто геометричною прогресією. Назва «геометрична» прогресія отримала тому, що кожен її член, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному сусідніх з ним членів:

Теорема. Ряд, складений з членів геометричної прогресії

розходиться при і сходиться при. причому при сума ряду

Доведення. Загальний член ряду, як і загальний член геометричної прогресії, має вигляд:.

1) Якщо. то. тому в цьому випадку - нескінченно велика величина.

2) При ряд поводиться по-різному, тому що набуває різні види.

. тому межа константи дорівнює самій константі. Оскільки за умовою теореми. загальний член ряду не прямує до нуля.

при; межі не існує.

Таким чином, при не виконується необхідна умова збіжності ряду:

Отже, ряд (1.13) розходиться.

3) Якщо. то прогресія називається нескінченно спадної. Зі шкільного курсу відомо, що n -ю часткову суму ряду (1.13) можна представити у вигляді:

Знайдемо суму ряду. Так як при (нескінченно мала величина), то

Таким чином, при ряд (1.13) сходиться і має суму, рівну

Це і є сума нескінченно спадної геометричної прогресії.

Знайдемо межа послідовності для сходиться ряду з сумою S при. З визначення суми ряду слід:

Тоді з (1.24) випливає:

Отримали, що залишок сходиться ряду є величина нескінченно мала при. тобто коли число відкидаються членів ряду прямує до нескінченності. Це видно і з малюнків 1.5.1 і 1.5.2.

Зауваження. Теорему про відкиданні кількох членів ряду можна сформулювати наступним чином: для того, щоб ряд сходився, необхідно і достатньо, щоб його залишок наближався до нуля.

§1.6. Знакоположітельние ряди

Розглянемо ряд з невід'ємними членами

Такі ряди будемо називати знакоположітельнимі. Розглянемо послідовність часткових сум знакоположітельного ряду (1.26). Поведінка цієї послідовності особливо просте: вона монотонно зростає при зростанні n. тобто . (Тому що до кожної наступної часткової суми додається невід'ємне число).

Згідно з теоремою Вейєрштрасса будь-яка монотонна обмежена послідовність сходиться (див. I семестр I курсу). Виходячи з цього, сформулюємо загальний критерій збіжності рядів з додатними членами.

Теорема (загальний критерій збіжності знакоположітельних рядів). Для того, щоб знакоположітельний ряд сходився, необхідно і достатньо, щоб послідовність його часткових сум була обмежена.

Нагадаємо визначення обмеженості послідовності: послідовність називається обмеженою, якщо існує М> 0 таке, що для (рис.1.6.1). Для знакоположітельних рядів. і можна говорити про обмеженість зверху, тому що знизу обмежена нулем.

Доведення. 1) Необхідність. Нехай ряд (1.26) сходиться Þ послідовність часткових сум має межу, тобто сходиться. По теоремі про обмеженість збіжної послідовності будь-яка сходиться послідовність обмежена Þ обмежена.

2) Достатність. Нехай послідовність часткових сум ряду (1.26) обмежена.

Оскільки . тобто монотонна. По теоремі Вейерштрасса про монотонних обмежених послідовності вона сходиться Þ сходиться ряд (1.26).

Ясно, що при необмеженому зростанні послідовності часткових сум ряд розходиться.

Загальний критерій збіжності знакоположітельних рядів дозволяє встановити достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами. Цими ознаками є:

1) ознаки порівняння рядів;

2) ознака Даламбера;

3) ознаки Коші.

Перша ознака порівняння

Теорема про першу ознаку порівняння.

Нехай дано два ряди з невід'ємними членами:

причому, починаючи з деякого номера n³N, виконується нерівність

1) з збіжність ряду (1.28) слід збіжність ряду (1.27);

2) з розбіжність ряду (1.27) слід расходимость ряду (1.28).

Іншими словами, якщо сходиться більший ряд, то сходиться і менший, якщо розходиться менший ряд, то більший розходиться і поготів (ріс.1.7.1).

Доведення. 1) Нехай і - часткові суми рядів (1.27) і (1.28), відповідно. Оскільки . зі співвідношення (1.29) випливає, що (сума менших чисел менше суми великих чисел). Якщо ряд сходиться, то послідовність його часткових сум обмежена (зверху), але тоді обмежена і послідовність часткових сум ряду як ряду з меншими членами; Þ відповідно до загального критерію збіжності ряд сходиться.

2) Нехай тепер ряд розходиться. Припустимо, що при цьому ряд сходиться. Але тоді по щойно доведеним менший ряд також повинен сходитися. Протиріччя. Отже, ряд розходиться.

Ознака порівняння застосовується для дослідження збіжності знакоположітельних рядів, якщо відома збіжність будь-якого іншого ряду, придатного для порівняння із заданим поруч. Найчастіше порівнюють з геометричною прогресією (сходиться при і розходиться при) і з узагальненим гармонійним рядом. який сходиться при a> 1 і розходиться при a £ 1 (доказ буде приведено пізніше).

Порівняємо даний ряд з нескінченної геометричною прогресією:

Так як починаючи з n = 3 Þ . то даний ряд сходиться.

Порівняємо даний ряд з розбіжним гармонійним рядом.

Так як починаючи з п = 2 Þ . то даний ряд розходиться.

Зауваження. Даний ряд є узагальненим гармонійним рядом,.