Рівняння з двома невідомими в цілих числах

2. Теореми про кількість рішень рівнянь з двома змінними.

3. Алгоритм розв'язання рівнянь.

4. Способи вирішення рівнянь.

5. Приклади розв'язання рівнянь різними способами.

«Хто керує числами,

Той управляє світом »

Піфагор.
Вступ.
Аналіз ситуації: Діофантові рівняння це актуальна в наш час тема, т. К. Рішення рівнянь, нерівностей, задач, що зводяться до рішення рівнянь в цілих числах за допомогою оцінок для змінних, зустрічається в різних математичних збірниках та збірниках ЄДІ.

Вивчивши різні способи вирішення квадратного рівняння з однією змінною на уроках, нам було цікаво розібратися, а як вирішуються рівняння з двома змінними. Такі завдання зустрічаються на олімпіадах і в матеріалах ЄДІ.

У цьому навчальному році одинадцятикласникам треба буде здавати Єдиний державний іспит з математики, де Кіми складені за новою структурою. Немає частини «А», але додані завдання в частину «В» і частина «С». Укладачі пояснюють додавання С6 тим, що для вступу в технічний ВУЗ потрібно вміти вирішувати завдання такого високого рівня складності.
Проблема. Вирішуючи приблизні варіанти завдань ЄДІ, ми помітили, що найчастіше зустрічаються в С6 завдання на рішення рівнянь першого та другого ступеня в цілих числах. Але ми не знаємо способи вирішення таких рівнянь. У зв'язку з цим виникла необхідність вивчити теорію таких рівнянь і алгоритм їх вирішення.
Мета: Освоїти спосіб вирішення рівнянь з двома невідомими першого та другого ступеня в цілих числах.
Завдання: 1) Вивчити навчальну та довідкову літературу;

1. 
   Зібрати теоретичний матеріал щодо способів вирішення рівнянь;
   
2. 
   Розібрати алгоритм розв'язання рівнянь даного виду;
   

1. 
   Розглянути ряд прикладів із застосуванням даного прийому.
   

Об'єкт дослідження: Рішення рівнянь

Предмет дослідження: Рівняння з двома змінними в цілих числах.

Гіпотеза: Дана тема має велике прикладне значення. У шкільному курсі математики докладно вивчаються рівняння з однією змінною і різні способи їх вирішення. Потреби навчального процесу вимагають, щоб учні знали і вміли вирішувати найпростіші рівняння з двома змінними. Тому підвищена увага до цієї теми не тільки виправдано, але і є актуальною в шкільному курсі математики.

Дана робота може бути використана для вивчення даної теми на факультативних заняттях учнями, при підготовці до випускних і вступних іспитів. Ми сподіваємося, що наш матеріал допоможе старшокласникам навчитися розв'язувати рівняння такого виду.

1. Діофант і історія діофантових рівнянь.
Рішення рівнянь в цілих числах є однією з найдавніших математичних задач. Найбільшого розквіту ця область математики досягла в Стародавній Греції. Основним джерелом, що дійшли до нашого часу, є твір Діофанта - «Арифметика». Діофант підсумовував і розширив накопичений до нього досвід вирішення невизначених рівнянь в цілих числах.

Історія зберегла нам мало рис біографії чудового олександрійського вченого-алгебраиста Діофанта. За деякими даними Діофант жив до 364 року н.е. Достовірно відомо лише своєрідний життєпис Діофанта, яке за переказами було висічено на його надгробку і представляло завдання-головоломку:

«Бог послав йому бути хлопчиком шосту частину життя; додавши до цього дванадцяту частину, Він покрив його щоки пушком; після сьомої частини Він запалив йому світло шлюбу і через п'ять років після вступу в шлюб дав йому сина. На жаль! Нещасний пізня дитина, досягнувши заходи половини повного життя батька, він був винесений безжальним роком. Через чотири роки, втішаючи спіткало його горе наукою про числах, він [Діофант] завершив своє життя »(приблизно 84 роки).

Ця головоломка є прикладом тих завдань, які вирішував Діофант. Він спеціалізувався на вирішенні завдань в цілих числах. Такі завдання в даний час відомі під назвою діофантових.

Найбільш відомою, вирішеною Диофантом, є завдання «про розкладанні на два квадрата». Її еквівалентом є відома всім теорема Піфагора. Ця теорема була відома в Вавилонії, можливо її знали і в Стародавньому Єгипті, але вперше вона була доведена, в піфагорейської школі. Так називалася група цікавляться математикою філософів по імені засновника школи Піфагора (бл. 580-500г. До н.е.)

Життя і діяльність Діофанта протікала в Олександрії, він збирав і вирішував відомі і придумував нові завдання. Пізніше він об'єднав їх в великій праці під назвою «Арифметика». З тринадцяти книг, які входили до складу «Арифметики», тільки шість збереглися до Середніх віків і стали джерелом натхнення для математиків епохи Відродження.

2. Теореми про кількість рішень лінійного діофантових рівнянь.

Наведемо тут формулювання теорем, на підставі яких може бути складений алгоритм вирішення невизначених рівнянь першого ступеня від двох змінних в цілих числах.

Теорема 1. Якщо в рівнянні,, то рівняння має, принаймні, одне рішення.

Теорема 2. Якщо в рівнянні, і з не ділиться на, то рівняння цілих рішень не має.

Теорема 3. Якщо в рівнянні, і, то воно рівносильне рівнянню, в якому.

Теорема 4. Якщо в рівнянні,, то всі цілі вирішення цього рівняння укладені в формулах:

де х0, у0 - цілий розв'язок рівняння, - будь-яке ціле число.

3. Алгоритм рішення рівняння в цілих числах.

Сформульовані теореми дозволяють скласти наступний алгоритм вирішення в цілих числах рівняння виду.

1. 
   Знайти найбільший спільний дільник чисел a і b.
   

якщо і з не ділиться на, то рівняння цілих рішень не має;

1. 
   Розділити почленно рівняння на, отримавши при цьому рівняння, в якому.
   
2. 
   Знайти ціле рішення (х0, у0) рівняння шляхом подання 1 як лінійної комбінації чисел і;
   
3. 
   Скласти загальну формулу цілих рішень даного рівняння
   

де х0, у0 - цілий розв'язок рівняння, - будь-яке ціле число.

При вирішенні рівнянь в цілих і натуральних числах можна умовно виділити наступні методи:

1. Спосіб перебору варіантів.

2. Алгоритм Евкліда.

4. Метод розкладання на множники.

5. Рішення рівнянь в цілих числах як квадратних щодо будь-якої змінної.

6. Метод залишків.

7. Метод нескінченного спуску.

5. Приклади розв'язання рівнянь.

I. Алгоритм Евкліда.

Завдання 1. Вирішити рівняння в цілих числах 407х - 2816y = 33.

Скористаємося складеним алгоритмом.

1. 
   Використовуючи алгоритм Евкліда, знайдемо найбільший спільний дільник чисел 407 і 2816:
   

2816 = 407 · 6 + 374; Отже (407,2816) = 11, причому 33 ділиться на 11

1. 
   Розділимо обидві частини початкового рівняння на 11, отримаємо рівняння 37х - 256y = 3, причому (37, 256) = 1
   
2. 
   За допомогою алгоритму Евкліда знайдемо лінійне уявлення числа 1 через числа 37 і 256.
   

256 = 37 · 6 + 34;

Висловимо 1 з останнього рівності, потім послідовно піднімаючись по равенствам будемо висловлювати 3; 34 і отримані вирази підставимо в вираз для 1.

1 = 34 - 3 · 11 = 34 - (37 - 34 · 1) · 11 = 34 · 12 - 37 · 11 = (256 - 37 · 6) · 12 - 37 · 11 =

Таким чином, 37 · (- 83) - 256 · (-12) = 1, отже пара чисел х0 = - 83 і у0 = - 12 є рішення рівняння 37х - 256y = 3.

1. 
   Запишемо загальну формулу рішень початкового рівняння
   

де t - будь-яке ціле число.

II Спосіб перебору варіантів.

Завдання 2. У клітці сидять кролики і фазани, всього у них 18 ніг. Дізнатися, скільки в клітці тих і інших?
Рішення: Складається рівняння з двома невідомими змінними, в якому х - число кроликів. у - число фазанів:
4х + 2у = 18, або 2х + у = 9.

Далі скористаємося методом перебору:

Таким чином, завдання має чотири рішення.

III. Метод розкладання на множники.
Перебір варіантів при знаходженні натуральних рішень рівняння з двома змінними виявляється досить трудомістким. Крім того, якщо рівняння має цілі рішення, то перебрати їх неможливо, так як таких рішень безліч. Тому покажемо ще один прийом - метод розкладання на множники.
Завдання 3. Вирішити рівняння в цілих числах y 3 - x 3 = 91.
Рішення. 1) Використовуючи формули скороченого множення, розкладемо праву частину рівняння на множники:

2) випишемо всі подільники числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Проводимо дослідження. Зауважимо, що для будь-яких цілих x та y число

отже, обидва співмножники в лівій частині рівняння повинні бути позитивними. Тоді рівняння (1) рівносильне сукупності систем рівнянь:

4) Вирішивши системи, отримаємо: перша система має рішення (5; 6), (-6; -5); третя (-3; 4), (- 4; 3); друга і четверта рішень в цілих числах не мають.

Відповідь: рівняння (1) має чотири рішення (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4; 3).
Завдання 4.Найті всі пари натуральних чисел, що задовольняють рівняння

.
Рішення. Розкладемо ліву частину рівняння на множники і запишемо рівняння у вигляді

Оскільки делителями числа 69 є числа 1, 3, 23 і 69, то 69 можна отримати двома способами: 69 = 1 · 69 і 69 = 3 · 23. З огляду на, що, одержимо дві системи рівнянь, вирішивши які ми зможемо знайти шукані числа:

Перша система має рішення, а друга система має рішення.

Завдання 5. Вирішити рівняння в цілих числах:

.
Рішення. Запишемо рівняння у вигляді

Розкладемо ліву частину рівняння на множники. отримаємо

Твір двох цілих чисел може дорівнювати 1 лише в двох випадках: якщо обидва вони рівні 1 або -1. Отримаємо дві системи:

Перша система має рішення х = 2, у = 2, а друга система має рішення х = 0, у = 0.

Завдання 6. Вирішити в цілих числах рівняння

.
Рішення. Запишемо це рівняння у вигляді

Розкладемо ліву частину рівняння на множники способом групування, отримаємо

Твір двох цілих чисел може дорівнювати 7 в наступних випадках:

7 = 1 · 7 = 7 · 1 = -1 · (-7) = - 7 · (-1) .Таким чином, отримаємо чотири системи:

або, або, або.

Рішенням першої системи є пара чисел х = - 5, у = - 6. Вирішуючи другу систему, отримаємо х = 13, у = 6. Для третьої системи рішенням є числа х = 5, у = 6. Четверта система має рішення х = - 13, у = - 6.

має рішень в цілих числах.
Рішення. 1) Розкладемо ліву частину рівняння на множники і обидві частини рівняння розділимо на 3, в результаті отримаємо рівняння:

2) дільник 10 є числа ± 1, ± 2, ± 5, ± 10. Зауважимо також, що сума сомножителей лівій частині рівняння (2) дорівнює 0. Неважко перевірити, що сума будь-яких трьох чисел з безлічі дільників числа 10, що дають в творі 10, не буде дорівнювати 0. Отже, вихідне рівняння не має рішень в цілих числах.
Завдання 8.Решіть рівняння: Х2 у2 = 3 в цілих числах.
Рішення:

1. 
   застосуємо формулу скороченого множення х 2 - у 2 = (х-у) (х + у) = 3
   
2. 
   н Айдем подільники числа 3 = -1; -3; 1; 3
   
3. 
   Д анное рівняння рівносильне сукупності 4 систем:
   

х-у = 1 2х = 4 х = 2, у = 1

х + у = 3
х-у = 3 х = 2, у = -1

х + у = 1
х-у = -3 х = -2, у = 1

3. Знайдемо 8 значень у.

Якщо х = -1, то у = -9 х = -5, то у = 3

Х = 1, то у = 9 х = 5, то у = -3

Х = -2, то у = -3 х = -10, то у = 9

Х = 2, то у = 3 х = 10, то у = -9

висловимо з рівняння то невідоме, яке входить в нього тільки в першого ступеня - в даному випадку у:

виділимо у дробу цілу частину за допомогою правила розподілу багаточлена на багаточлен «кутом». отримаємо:

Отже, різниця 2х-1 може приймати тільки значення -3, -1,1,3.

Залишилося перебрати ці чотири випадки.
Відповідь. (1; 9), (2; 8), (0; 2), (-1; 3)

Висловимо змінну п через змінну т:

Знайдемо подільники числа 625: т -25 Є 1; 5; 25; 125; 625

2. Вирішити рівняння в натуральних числах: тп +25 = 4т
Рішення. тп +25 = 4т

1) висловимо змінну т через п:

2) знайдемо натуральні подільники числа 25: (4-п) Є 1; 5; 25

4-п = 5, то п = -1, т = 5 (сторонні корені)

3 .Найдіте все пари (х; у) цілих чисел, що задовольняють системі нерівностей:

х 2 + у 2 + 2> х 2 + 12У + 271
Рішення: Виділяючи повні квадрати, отримаємо:

(Х-9) 2 + (у + 10) 2 2 + (у + 6) 2 2 2 2 2

Рівняння з двома невідомими в цілих числах