Рівняння лінії на площині
Рівняння лінії на площині.
Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в будь-якої системі координат. Системи координат можуть бути різними в залежності від вибору базису і початку координат.
Визначення. Рівнянням лінії називається співвідношення y = f (x) між координатами точок, що складають цю лінію.
Відзначимо, що рівняння лінії може бути виражено параметричних способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через деякий незалежний параметр t.
Характерний приклад - траєкторія рухається точки. У цьому випадку роль параметра відіграє час.
Рівняння прямої на площині.
Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку
причому постійні А, В не дорівнюють нулю одночасно, тобто А 2 + В 2 ¹ 0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.
Залежно від значень постійних А, В і С можливі наступні окремі випадки:
- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 - пряма проходить через початок координат
- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0
- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0
- В = С = 0, А ¹ 0 - пряма збігається з віссю Оу
- А = С = 0, В ¹ 0 - пряма збігається з віссю Ох
Рівняння прямої може бути представлено в різному вигляді в залежності від будь - яких заданих початкових умов.
Відстань від точки до прямої.
Теорема.Еслі задана точка М (х0. У0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як
Доведення. Нехай точка М1 (х1. У1) - підстава перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М і М1.
Координати x 1 і в1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:
Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданої прямої.
Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:
то, вирішуючи, отримаємо.
Підставляючи ці вирази в рівняння (1), знаходимо:
Приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
Приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6У - 3 = 0 перпендикулярні.
Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.
Приклад. Дано вершини трикутника А (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини С.
Знаходимо рівняння сторони АВ:; 4 x = 6 y - 6;
Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.
k =. Тоді y =. Оскільки висота проходить через точку С, то її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом:.
Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.
Конструктор uCoz