Рівняння Бернуллі і його фізичний зміст

Рівняння нерозривності і рівняння Ейлера є основни-ми в механіці газів. Спільне рішення цих рівнянь дає беско-кінцевих кількість коренів. Для однозначності рішення необхідно до-бавить рівняння, що описують крайові умови.

До сих пір вдалося отримати тільки для невеликої кількості відносно простих випадків. Одним з найбільш важливих випадків яв-ляется рівняння Бернуллі, і висновку якого ми переходимо.

Запишемо систему диференціальних рівнянь руху (Ейлера) для елементарної цівки

При усталеному русі елементарної цівки, а компоненти швидкості змінюються тільки в напрямку відповідних осей координат. Тоді рівняння Ейлера спроститься і набуде вигляду

Помножимо перше рівняння на d х. друге - на dу. третє - на dz і почленно складемо і складемо еквівалентну рівняння

Осі координат розмістимо так, щоб GХ = Gу = 0, а gz = -g.

Тоді рівняння набуде вигляду

Вираз, що стоять в дужках представляють повні диференціали тиску dР і квадрата швидкості, тобто

Тому рівняння можна переписати у вигляді

Розглянемо усталене протягом нестисливого газу, тобто таке, при якому швидкості в кожній точці не змінюється з плином часу ().

Інтегруючи це рівняння за умови # 961; = Сопst отримаємо:

де-енергія положення (геометричне тиск) н / м 2;

Р - енергія тиску (статичний тиск), н / м 2;

-кінетична енергія I м 3 рухається газу або жид

кістки (динамічний тиск) н / м 2.

Рівняння (55) часто називають рівнянням енергії, тому що розмірність н / м 2 являє собою енергію 1 м 3 потоку рідини, що рухається або газу. Розділивши всі члени на # 961; і g отримаємо інший вид уравне-ня Бернуллі:

Розмірність кожного члена рівняння (56) виражається в м, а це є енергія одиниці ваги

Сума () характеризує потенційну енергію.

Ставлення () - кінетичну енергію струмки, віднесену до 1 кг рухомого середовища.

Тут: z -геометріческая висота (напір), яка виражає енер-гію положення;

-пьезометрические висота (напір), яка ви-ражает енергію тиску, м;

- швидкісна висота (напір), кото-раю висловлює кінетичну енергію, м.

Таким чином, отримане рівняння можна прочитати так: при сталому русі ідеальної нестисливої ​​рідини уздовж лінії струму сума геометричної, пьезометрической і швидкісний висот (на-порового) не змінюється.

З енергетичної точки зору рівняння Бернуллі показує, що сума потенційної і кінетичної енергії ідеальної нестисливої ​​рідини є величи-на постійна. Повна питома енергія залишається незмінною.

Таким чином рівняння Бернуллі є закон збереження ме-механічній енергії при русі ідеальної рідини. У цьому сенсі воно має фундаментальне значення для гідромеханіки.

У практичних інженерних задачах користуються середнім значенням швидкості по перетину реального потоку, визначаючи її як відношення секундного витрати рідини до площі перетину потоку:

Дійсно, швидкість в різних точках перетину відрізняється від цього значення на деяку величину # 916; W. різну для раз-них точок по абсолютним значенням і за знаком.

Кінетичну енер-гію протікає через перетин рідини, віднесену до I м 3 цієї рідини і визначається через величину середньої швидкості, обчислюють СОГ-ласно висловом:

і рівняння для потоку в цілому при плавно змінюється перетині бу-дет мати вигляд:

коефіцієнт # 945; залежить від нерівномірності розподілу скорос-тей по перетину і називається коефіцієнтом Каріоліса. Для лами-Нарнії потоку в круглій трубці, де розподіл швидкостей по перетину відповідає параболі, # 945; = 2. Для сталого тур-булентного течії в трубах. # 945; = 1,1 - 1,13. Рівняння (58) було виведено для рідини, а для газу - з припущення нестисливого газу.

Рівняння для ідеального газу, що враховує внутрішню енер-гію газу, а також підведення або висновок тепла і призначене для розрахунків, коли змінюється температура потоку, має вигляд:

де U- внутрішня енергія газів при температурі Кдж / кг

Q - величина підводиться або відводиться тепла, Кдж;

А - механічний еквівалент тепла

Енергія частинок реальної рідини або газу, що рухається в по-струмі, що не буде залишатися постійною. Частина енергії буде розходитися-тися на подолання опорів, що виникають внаслідок в'яз-кості.

Позначимо втрачену на даній ділянці енергію, від-несення до 1 м 3 рухається реального середовища, через # 916; Рп. Тоді рівняння Бернуллі, написане для двох перетинів реальної рідини, матиме вигляд

де - тиск положення;

Р -пьезометріческое тиск;