Рівність прямокутних трикутників

1. Перші дві ознаки рівності прямокутних трикутників.

Для рівності двох трикутників досить, щоб три елементи одного трикутника дорівнювали відповідним елементам іншого трикутника, при цьому неодмінно в число цих елементів повинна входити хоча б одна сторона.

Так як всі прямі кути рівні між собою, то прямокутні трикутники вже мають по одному рівному елементу, саме по одному прямого кута.

Звідси випливає, що прямокутні трикутники рівні:

якщо катети одного трикутника відповідно рівні катетам іншого трикутника (рис. 153);

якщо катет і прилеглий гострий кут одного кутника відповідно рівні катета і прилеглому гострого кута іншого трикутника (рис. 154).

Доведемо тепер дві теореми, що встановлюють ще два ознаки рівності прямокутних трикутників.

Теореми про ознаки рівності прямокутних трикутників

Теорема 1. Якщо гіпотенуза і гострий кут одного трикутника відповідно рівні гіпотенузі іострому кутку іншого трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні.

Щоб довести цю теорему, побудуємо два прямокутних гольніка ABC і А'В'С ', у яких кути А і А' рівні, гіпотенузи АВ і А'В 'є рівними, а кути С і С' - прямі (рис. 157) .

Накладемо трикутник А'В'С'на трикутник ABC так, щоб вершина А 'збіглася з вершиною А, гіпотенуза А'В' - з рівною гипотенузой АВ. Тоді внаслідок рівності кутів A і А 'катет А "З піде по катету АС; катет В'С 'суміститься з катетом ВС: обидва вони - перпендикуляри, проведені до однієї прямої АС з однієї точки В. Значить, вершини С і С' сполучаться.

Трикутник ABC совместился з трикутником А'В'С '.

Отже, \ (\ Delta \) АВС = \ (\ Delta \) А'В'С '.

Ця теорема дає 3-й ознака рівності прямокутних трикутників (по гіпотенузі і гострому куту).

Теорема 2. Якщо гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно рівні гіпотенузі і катету іншого трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні.

Щоб довести це, побудуємо два прямокутних трикутника АВС і А'В'С ', у яких кути С і С' - прямі, катети АС і A'C 'рівні, гіпотенузи АВ і А'В' є рівними (рис. 158) .

Проведемо пряму MN і відзначимо на ній точку С, з цієї точки проведемо перпендикуляр СК до прямої MN. Потім прямий кут трикутника ABC накладемо на прямий кут КСМ так, щоб вершини їх поєдналися і катет АС пішов по променю СК, тоді катет ВС піде по променю СМ. Прямий кут трикутника А'В'С 'накладемо на прямий кут KCN так, щоб вершини їх поєдналися і катет А "З пішов по променю СК, тоді катет С'В' піде по променю CN. Вершини А і А 'співпадуть внаслідок рівності катетів АС і А "З.

Трикутники АВС і А'В'С 'складуть разом трикутник ВАВ', в якому АС виявиться висотою і бісектрисою, а значить і віссю симетрії трикутника ВАВ '. З цього випливає, що \ (\ Delta \) АВС = \ (\ Delta \) А'В'С '.

Ця теорема дає 4-й ознака рівності прямокутних трикутників (по гіпотенузі і катету).

Отже, всі ознаки рівності прямокутних трикутників:

  1. Якщо два катета одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні
  2. Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні катета і прилеглому до нього гострого кута іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні
  3. Якщо катет і протилежний гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні катета і протилежного гострого кута іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні
  4. Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні гіпотенузі і гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні
  5. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника відповідно рівні катета і гіпотенузи іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні