Рішення задач без знаходження похідної

Сенс завдань той же - потрібно знайти яку точку максимуму (мінімуму) функції, або визначити максимальне (мінімальне) значення функції. У даній рубриці ми вже розглянули деякі приклади з логарифмами. числом е. функції з творами.

У чому суть і який «стандартний» алгоритм рішення - можна подивитися в цій статті. Але не для всіх прикладів застосування цього алгоритму буде раціональний. Якщо слідувати йому в представлених прикладах, то процес рішення буде «перевантажений» обчисленнями.

Так які ж завдання маються на увазі?

В умови дана ірраціональна, логарифмічна або показова функція:

при чому під коренем, під знаком логарифма або в показнику варто квадратична функція виду:

Ми розглянемо підхід без знаходження похідної. Ви побачите, що такі завдання можна вирішувати усно.

Що необхідно знати?

Властивість параболи, нагадаємо його:

Якщо а> 0, то її гілки спрямовані вгору.

якщо а <0, то её ветви направлены вниз.

Далі згадаємо координату (абсциссу) вершини параболи:

Тобто, це точка екстремуму квадратичної функції (в ній функція змінює свою поведінку з зростання на спадання або навпаки).

Наступний важливий факт (ключовий для цих завдань)!

Якщо початкова функція монотонна (безперервно зростає або убуває), для неї точка х також буде точкою екстремуму. Таким чином, сформулюємо ключове правило:

І звичайно, не втрачайте з уваги область допустимих значень заданої функції:

- вираз що стоїть під знаком кореня, більше або дорівнює нулю (число невід'ємне).

- вираз що стоїть під знаком логарифма, є позитивне число.

- вираз стоїть в знаменнику дробу не дорівнює нулю.

У подібних завданнях на знаходження найбільшого і найменшого значення функції, я б порадив знаходити область визначення в будь-якому випадку (навіть не дивлячись на те, що в представлених задачах це нічого нам не дає).

Знайдіть точку максимуму функції

Під коренем квадратична функція 13 + 6х - х 2

Її графік - парабола, гілки спрямовані вниз, оскільки а = - 1 <0

Значить, максимальне значення функція набуває в точці:

Перевіримо, чи належить отримане значення області визначення. Тобто чи буде подкоренное вираз числом невід'ємним:

13 + 6 ∙ 3 - 3 2 = 13 + 18 - 9 = 22> 0

Чому необхідно це зробити? Справа в тому, що абсциса відповідна вершині параболи може не увійти в область визначення, це буде означати, що області визначення належатиме тільки ділянку гілки параболи (таких завдань на ЄДІ не буде).

Знайдіть точку максимуму функції

Знайдіть найменше значення функції

Під коренем квадратична функція х 2 + 8х + 185.

Її графік - парабола, гілки спрямовані вгору, оскільки а = 1> 0

Абсциса вершини параболи:

Так як гілки параболи спрямовані вгору, то в точці х = - 4 функція

х 2 + 8х + 185 приймає найменше значення.

Функція кважратного кореня монотонно зростає, значить х = 4 точка мінімуму всієї функції, обчислимо її найменше значення:

Знайдіть найменше значення функції

Знайдіть точку максимуму функції у = log7 (-2 - 12х - х 2) + 10.

Під знаком логарифма квадратична функція -2 - 12х - х 2.

Графік - парабола, гілки спрямовані вниз, так як а = - 1 <0

Абсциса вершини параболи:

Перевіримо, чи належить отримане значення х області визначення (вираз під знаком логарифма повинно бути число позитивне):

- 2 - 12 ∙ (-6) - (-6) 2 = - 2 + 72 - 36 = 34> 0

Тобто, в точці х = - 6

функція f (х) = - 2 - 12х - х 2 буде мати максимальне значення.

Значить, і у = log7 (-2-12х-х 2) +10 в цій точці так само буде мати максимальне значення.

Знайдіть точку максимуму функції у = log2 (2 + 2х - х 2) - 2

Знайдіть найменше значення функції у = log 9 (х 2 - 10х + 754) + 3

Під коренем квадратична функція х 2 - 10х + 754.

Її графік - парабола, гілки спрямовані вгору, оскільки а = 1> 0

Абсциса вершини параболи:

Тобто, в точці х = 5 функція f (x) = х 2 - 10х + 754 приймає найменше значення.

Функція log9 х монотонна, значить у = log9 (х 2 - 10х + 754) + 3 у точці х = 5 також приймає найменше значення, обчислимо його:

Знайдіть найменше значення функції у = log3 (х 2 - 6х + 10) + 2

Знайдіть точку максимуму функції

У показнику варто квадратична функція - 30 + 12х - х 2.

Графік - парабола, гілки спрямовані вниз, так як а = -1 <0.

Абсциса вершини параболи:

Тобто, в точці х = 6 функція f (х) = - 30 + 12х - х 2 придбає максимальне значення. Значить і дана функція в цій точці буде мати також максимальне значення.

Знайдіть точку максимуму функції:

Знайдіть найменше значення функції

У показнику варто квадратична функція х 2 + 16х + 66.

Її графік - парабола, гілки спрямовані вгору, оскільки а = 1> 0

Абсциса вершини параболи:

Тобто, в точці х = - 8 функція х 2 + 16х + 66 приймає найменше значення.

Показова функція монотонна, тому її найменше значення буде також в точці х = - 8, обчислимо його

Знайдіть найменше значення функції

Зрозуміло, що це коротка схема рішення і, звичайно ж, потрібно розуміти властивості квадратичної, показовою, логарифмічною, дрібно-раціональної функції, але ця схема працює.

У даній рубриці ми ще розглянемо завдання з тригонометричними функціями, не пропустіть! Успіху вам!

З повагою, Олександр Крутицький