Рішення систем лінійних рівнянь

Метод оберненої матриці: для системи з n рівнянь з n невідомими. за умови що визначник матриці не дорівнює нулю, єдине рішення можна представити у вигляді. Для того щоб вирішити систему лінійних рівнянь методом оберненої матриці, необхідно виконати наступні дії:

сформувати матрицю коефіцієнтів і вектор вільних членів заданої системи;
вирішити систему, представивши вектор невідомих як твір матриці, оберненої до матриці системи, і вектора вільних членів.

Дана система рівнянь:

Вирішуємо на MATLAB:

A = [1 -2 1; 2 -5 -1; -7 0 1];

x = inv (A) * b% Рішення системи x = A -1 b

Рішення системи лінійних рівнянь за допомогою методу Гаусса ґрунтується на тому, що від заданої системи, переходять до системи еквівалентної, яка вирішується простіше, ніж вихідна.

Метод Гаусса складається з двох етапів:

Перший етап - це прямий хід, в результаті якого розширена матриця системи шляхом елементарних перетворень (перестановка рівнянь системи, множення рівнянь на число, відмінне від нуля, і складання рівнянь) приводиться до ступінчастому увазі.
На другому етапі (зворотний хід) ступінчасту матрицю перетворять так, б в перших n шпальтах вийшла одинична матриця. Останній, n +1 стовпець цієї матриці містить рішення системи лінійних рівнянь.

Порядок вирішення завдання в MATLAB наступний:

сформувати матрицю коефіцієнтів і вектор вільних членів заданої системи;
сформувати розширену матрицю системи, об'єднавши і;
використовуючи функцію rref, привести розширену матрицю до ступінчастого вигляду;
знайти рішення системи, виділивши останній стовпець матриці, отриманої в попередньому пункті;
виконати обчислення; якщо в результаті вийшов нульовий вектор, задача вирішена вірно.

A = [1 -2 1; 2 -5 -1; -7 0 1];

C = rref ([A b]); % Приведення розширеної матриці до трикутного вигляду

x = C (1: 3,4: 4)% Виділення останнього стовпчика з матриці