Рішення неднородного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами та спеціальної правою частиною
Головна> Самовчителі> Звичайні диференціальні рівняння.> Рішення неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами та спеціальної правої частью.1.
Рішення неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами та спеціальної правої частью.1.
Отже, як вирішувати однорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами ми розібралися в попередній статті. Розберемо випадок, коли права частина ненульова, а якогось спеціального виду.
Розглянемо рівняння виду:
.
Тоді рішення цього рівняння буде складатися з двох частин:. де - загальне рішення однорідного рівняння, а - приватне рішення неоднорідного рівняння.
Нехай права частина має. де - многочлен ступеня n, тоді загальний вид приватного рішення неоднорідного рівняння має вигляд:, де - загальний вид многочлена ступеня n з невизначеними коефіцієнтами, s одно кратності кореня характеристичного рівняння. тобто якщо такого кореня немає, то.
Коефіцієнти многочлена визначаються за методом невизначених коефіцієнтів після підстановки у вихідне рівняння.
Приклад 1.
Знайдемо. спільне рішення рівняння за допомогою характеристичного рівняння.
тоді
Знайдемо з вигляду правої частини.
Права частина має вигляд:.
Тут - многочлен першого ступеня,, таких коренів характеристичного рівняння немає, тобто .
Тоді частинний розв'язок неоднорідного рівняння буде мати вигляд:
Знайдемо похідні цієї функції першого і другого порядку і поставимо в вихідне рівняння.
Підставами в рівняння:
Прирівняємо коефіцієнти при відповідних ступенях х в різних частинах рівності (метод невизначених коефіцієнтів:
І приватне рішення має вигляд:
Складемо відповідь:
відповідь:
Приклад 2.
Знайдемо, загальне рішення рівняння за допомогою характеристичного рівняння.
Отримали дійсний корінь кратності 2.
тоді
Знайдемо з вигляду правої частини.
Права частина має вигляд:.
Тут - многочлен нульової ступеня,, таких коренів характеристичного рівняння аж цілих два, тобто .
Тоді частинний розв'язок неоднорідного рівняння буде мати вигляд.
Знайдемо похідні цієї функції першого і другого порядку і поставимо в вихідне рівняння.
Підставами в рівняння:
І приватне рішення має вигляд: