Реферат сферичний трикутник і його застосування 2
Сферичний трикутник і його застосування.
Сферичний трикутник - геометрична фігура на поверхні сфери, утворена перетином трьох великих кіл. Три великих кола на поверхні сфери, які не перетинаються в одній точці, утворюють вісім сферичних трикутників. Сферичний трикутник, всі сторони якого менше половини великого кола, називається ейлеровим.
Сторона сферичного трикутника вимірюється величиною спирається на неї центрального кута. Кут сферичного трикутника вимірюється величиною двогранного кута між площинами, в яких лежать боку цього кута. Співвідношення між елементами сферичних трикутників вивчає сферична тригонометрія.
Властивості сферичного трикутника:
- Крім трьох ознак рівності плоских трикутників, для сферичних трикутників вірний ще один: два сферичних трикутника рівні, якщо їх відповідні кути рівні.
- Для сторін сферичного трикутника виконуються 3 нерівності трикутника: кожна сторона менше суми двох інших сторін і більше їх різниці.
- Сума всіх сторін a + b + c завжди менше 2πR.
- Величина 2πR - (a + b + c) називається сферичним дефектом
- Сума кутів сферичного трикутника s = # 945; + # 946; + # 947; завжди менше 3π і більше π
- Величина називається сферичним надлишком або сферичним ексцесом
- Площа сферичного трикутника визначається за формулою.
- На відміну від плоского трикутника, у сферичного трикутника може бути два, і навіть три кути по 90 ° кожний.
Серед всіх сферичних багатокутників найбільший інтерес представляє сферичний трикутник. Три великих кола, перетинаючись попарно в двох точках, утворюють на сфері вісім сферичних трикутників. Знаючи елементи (сторони та кути) одного з них, можна визначити елементи всіх інших, тому розглядають співвідношення між елементами одного з них, того, у якого всі сторони менше половини великому колу. Сторони трикутника вимірюються плоскими кутами тригранного кута ОАВС, кути трикутника - двогранними кутами того ж тригранного кута см на рис.
Властивості сферичних трикутників багато в чому відрізняються від властивостей трикутників на площині. Так, до відомим трьом випадкам рівності прямолінійних трикутників додається ще й четвертий: два трикутника АВС і А`В`С` рівні, якщо рівні відповідно три кути РА = РА`, РВ = РВ`, РС = РС`. Таким чином, на сфері не існує подібних трикутників, більш того, в сферичної геометрії немає самого поняття подібності, тому що не існує перетворень, що змінюють все відстані в однакове (не рівне 1) число раз. Ці особливості пов'язані з порушенням евклідової аксіоми про паралельних прямих і також притаманні геометрії Лобачевського. Трикутники, які мають рівні елементи і різну орієнтацію, називаються симетричними, такі, наприклад, трикутники АС`С і ВСС`
Якщо розглядати Двуугольнік з кутом a, то при 226 = 2p / n (n - ціле число) сферу можна розрізати рівно на п копій такого двовугільника, а площа сфери дорівнює 4пR2 = 4p при R = 1, тому площа двовугільника дорівнює 4p / n = 2a. Ця формула вірна і при a = 2pт / п і, отже, правильна для всіх a. Якщо продовжити боку сферичного трикутника АВС і висловити площа сфери через площі утворюються при цьому Двуугольнік з кутами А, В, С і його власну площа, то можна прийти до вищенаведеної формулою Жирара.
У сферичного трикутника може бути два прямих кута
Вже у індійця Варахаміхіра (V-VI ст.), У арабських математиків і астрономів починаючи з IX ст. (Сабіт ібн Корра, ал-Баттани), а у західних математиків починаючи з Региомонтана (XV ст.) Зустрічається в різних формулюваннях чудова теорема про сферичних трикутниках. Ось як вона може бути сформульована в сучасних позначеннях:
cosa = cosbcosc + sinbsinccosA. Сферична теорема косинусів дуже важлива і для астрономії, і для географії. Ця теорема дозволяє за координатами двох міст A і B знаходити відстань між ними. Крім того, математикам країн ісламу сферична теорема косинусів допомагала у вирішенні іншої практичної задачі: в місті з даними координатами знаходити напрямок на священне місто Мекку (всякий правовірний мусульманин повинен п'ять разів день молиться в напрямку Мекки). При вирішенні цього завдання, вважаючи місто B Меккою, потрібно знайти кут A того ж трикутника.
В астрономії сферична теорема косинусів дозволяє переходити з однієї системи координат на небесній сфері в іншу. Найчастіше використовуються три такі системи: у одній екватором служить небесний екватор, а полюсами - полюси світу, навколо яких відбувається видиме добове обертання світил; в іншої екватором є екліптика - коло, по якому протягом року відбувається видимий рух Сонця на тлі зірок; у третій роль екватора виконує горизонт, а роль полюсів - зеніт і надир. Зокрема, завдяки сферичної теоремі косинусів можна обчислювати висоту Сонця над горизонтом в різні моменти часу і в різні дні в році.
Вітрила в архітектурі - сферичний трикутник, який би перехід від квадратного в плані подкупольного простору до кола купола. Парус, пандатів (від фр. Pendentif) - частина зводу, елемент купольної конструкції, за допомогою якого здійснюється перехід від прямокутної основи до купольному перекриттю або його барабану. Парус має форму сферичного трикутника, вершиною опущеною вниз, і заповнює простір між арками, що з'єднують сусідні стовпи подкупольного квадрата. Підстави сферичних трикутників вітрил в сумі утворюють коло і розподіляють навантаження купола по периметру арок.
Купол на вітрилах
ДжорджНельсон (George Nelson)
"Дизайнер може трохи розслабитися і розважитися; в результаті може виникнути жарт, забава. Дивно, як часто це буває дуже значна забава" Джордж Нельсон
Джордж Нельсон - американський дизайнер, архітектор, критик і теоретик дизайну. (1908, Хартфорд, Коннектикут - 1986, Нью-Йорк)
Проектував освітлювальну арматуру, годинник, меблі, упаковку, займався виставковим дизайном.
Найбільш відомі дизайн проекти Джорджа Нельсона є віртуозну стилізацію геометричних форм в дусі оп-арту або геометричного абстракціонізму.
Форму свого знаменитого чорного стільця дизайнер будує на основі сферичного трикутника, широко використовувався в архітектурних конструкціях купольних споруд. Зокрема в візантійських і українських храмах такий сферичний трикутник називався «парус». Завдяки «вітрила» здійснювався плавний перехід від підкупольної опори до купола.
Застосування сферичного трикутника:
- Використання в тривимірній графіці сферичних трикутників
- В астрономії
- У географії. Теорема сферичного трикутника дозволяє за координатами двох міст A і B знаходити відстань між ними.
- У архітектруе
- У дизайні у вигляді стільця від Джорджа Нельсона
- У гравюрі