Реферат пружний і непружних удар двох однорідних куль - банк рефератів, творів, доповідей,

Зіткнення рухомих тел властиві всім рівням Всесвіту - від мікроскопічного до космічного, тому ударні явища досить різноманітні. В динаміці вивчають вплив зіткнень на рух механічних систем. Це завдання привертала увагу багатьох відомих вчених, включаючи Х.Гюйгенса, І. Ньютона, Ж. Даламбера, С. Пуансон, Г. Дарбу, Е. Дж. Рауса, А.М. Ляпунова, Н.Є. Жуковського, С.П. Тимошенко і багатьох інших. Специфіка ударів полягає в їх інтенсивності і швидкоплинність. Дана властивість може виявитися і корисним, як при забивання паль, видобутку руди або грі в м'яч, і небезпечним, як при транспортних пригодах. Отже, проблема удару важлива не тільки для теоретиків, а й для конструкторів, автолюбителів, спортсменів та ін.

2. Підходи в теорії удару

З фізичної точки зору ударні сили - відгук на деформації, що виникають поблизу площадки контакту і хвилеподібно поширюються в даних тілах. Математичні моделі відображають цей процес з більшою або меншою повнотою. У класичній теорії удару деформації не враховуються і проблема зводиться до визначення інтегральних характеристик ударних сил - їх імпульсів. В основі цієї теорії лежать закони механіки і деякі додаткові гіпотези.

Закон збереження імпульсу виражається формулою:

Коефіцієнт восстановленіяe, як експериментально встановив Ньютон, залежить від матеріалу куль і лежить в межах від нуля до одиниці.

Хвильова теорія удару, висхідна до Б. Сент - Венану, найбільш повно описує напружений стан соударяющихся тел. В її основі лежить досить складні рівняння математичної фізики, що допускають точне рішення лише у виняткових випадках. У загальному випадку використання хвильової теорії недоцільно, зокрема, з її допомогою не вдається вирішити розглянуту задачу про удар куль.

Компромісом між цими двома крайніми підходами служать моделі, частково враховують деформації. Ідею таких методів запропонував Даламбер, який подумки поміщав маленьку пружинку (деформується елемент) в точку ударного контакту. З математичної точки зору проблема удару зводиться до вирішення звичайних диференціальних рівнянь, що не представляє принципових труднощів. У наведеному вище прикладі ідеальна пружинка не розсіюється енергію, тому удар буде абсолютно пружним.

3. Пружне зіткнення тел

При пружному зіткненні тел тіла зазнають пружну деформацію. При цьому кінетична енергія рухомих тел частково або повністю переходить в потенційну енергію пружної деформації і у внутрішню енергію тіл. Взаємодіючі тіла являють собою замкнуту систему, якщо на них не діють сили з боку інших тіл. У замкнутих системах виконуються закони збереження енергії і імпульсу. Знаючи рух тіл до зіткнення і застосовуючи закони збереження, можна визначити рух тіл після зіткнення. Але при цьому ми нічого не дізнаємося про те, як відбувається саме зіткнення. Для вирішення ж ряду задач про зіткнення мікрочастинок, як правило, досить знати про їх русі після взаємодії. "Моделлю" для задач подібного роду служить завдання про зіткнення куль. Якщо кулі катаються по гладкій горизонтальній поверхні, і якщо силою тертя кочення можна знехтувати, то систему з двох куль можна вважати замкнутою. Існує два граничних виду удару: абсолютно непружних і абсолютно пружний.

Зіткнення (зіткнення) - це короткочасна взаємодія, при якому тіла безпосередньо торкаються один одного.

Аналіз явищ, що має місце при ударі пружних суцільних тіл, досить складний, тому розглянемо найпростіший випадок - центральне зіткнення двох однорідних куль. Зіткнення називається центральним, якщо вектори швидкості куль до удару спрямовані по прямій, що проходить через їх центри.

Абсолютно пружні і непружні зіткнення - це ідеальні випадки. На практиці вони можуть бути реалізовані лише з певним ступенем наближення. У кожному разі зіткнення куль справедливі закони збереження імпульсу і енергії:

Абсолютно пружним називається такий удар, після якого у взаємодіючих тілах не залишається ніяких деформацій і сумарна кінетична енергія, якою володіли тіла до удару, дорівнює кінетичної енергії тіл після удару. Щоб удар був абсолютно пружним, взаємодіючі тіла повинні мати певні властивості. А саме, сили, що виникають при ударі, повинні залежати від величини деформації і не залежати від її швидкості. Найбільш близькими до цих властивостями володіють хороші сорти стали, слонова кістка. Зіткнення таких тіл відбувається наступним чином. При ударі виникають деформації соударяющихся тел, а значить і сили, що повідомляють прискорення обом тіл, в протилежних напрямках. В якийсь момент часу швидкості куль стають рівними, деформації досягають максимального значення, сили продовжують діяти, змінюючи швидкості в тих же напрямках, що і раніше. Тому кулі будуть "відсуватися" один від одного, а деформації зменшуватися поки зовсім не зникнуть. До цього моменту часу пружні сили, що виникають в тілах, зроблять таку ж роботу, яка була витрачена на деформацію. В результаті вся кінетична енергія, якою володіли тіла до удару, знову перейде в кінетичну енергію тіла після удару. Для визначення швидкості тіл після пружного взаємодії розглянемо удар двох куль (матеріальних точок), що утворюють замкнену систему.

3.1. Центральне пружне зіткнення тел

Є два сферичних об'єкта (кульки) з масами m1 і m2. Припустимо, що ці кульки рухаються без обертання по одній осі і відчувають центральне пружне зіткнення. У цьому випадку закон збереження імпульсу запишеться у вигляді:

де v1i і v2i - початкові швидкості кожного об'єкта, а v1 і v2 - їх кінцеві швидкості. Закон збереження енергії записується у вигляді:

Вектори швидкостей куль після пружного удару будуть лежати на лінії центрів куль, тому що сили взаємодії під час удару внаслідок симетрії будуть спрямовані по цій же прямій.

Закон збереження імпульсу може бути перетворений в такий спосіб:

Також перетворимо вираз для закону збереження енергії

Якщо різниця між початковою і кінцевою швидкостями не дорівнює нулю (тобто зіткнення дійсно відбулося), ми можемо розділити друге з двох останніх рівнянь на перше, що дає:

Іншими словами, в одновимірному випадку пружних зіткнень відносна швидкість руху об'єктів після зіткнення дорівнює відносній швидкості руху до зіткнення.

Щоб отримати кінцеві швидкості руху об'єктів через їх початкові швидкості і маси, потрібно висловити v2 з останнього рівняння і підставити його в рівняння для закону збереження імпульсу. Остаточно отримуємо:

Таким же способом знаходимо вираз для v2

Далі припустимо, що стикаються об'єкти з однаковою масою, тобто m1 = m2 = m. В цьому випадку:

Остаточно отримуємо, що

Це означає, що в разі центрального пружного зіткнення об'єктів з рівними масами, вони будуть просто обмінюватися швидкостями. Якщо один з об'єктів до зіткнення спочивав, то після зіткнення він зупиниться, а другий об'єкт почне рух. При цьому швидкість руху другого об'єкта буде дорівнює швидкості першого об'єкта до зіткнення.

У загальному випадку центрального і абсолютно пружного зіткнення об'єктів з різними масами, один з яких до зіткнення спочивав (v2i = 0), можна записати наступні вирази для швидкостей після удару:

Якщо маса налітаючого кулі m1 більше маси покоїться кулі m2. то v1 і v2 будуть позитивними і обидва кулі після зіткнення будуть рухатися в одному напрямку, що збігається з напрямком початкового руху налітаючого кулі.

Якщо ж маса налітав кулі m1 менше маси покоїться кулі m2. то v1 буде негативною, а v2 - позитивною, і кулі після зіткнення будуть розлітатися в протилежних напрямках. При цьому, тому що 2 m1> m1 - m2. то маленький кулька відбитися з більшою швидкістю.

Така картина удару двох будь-яких тіл, якщо початкова швидкість спрямована уздовж лінії, що з'єднує центри мас цих тіл, і якщо сили взаємодії спрямовані уздовж цієї ж лінії центрів. В іншому випадку удар буде представляти складне явище.

При нецентральному ударі куль картина зіткнення буде інша.

3.2. Нецентральних пружне зіткнення тел

Тут під час удару має місце як наближення центрів куль один до одного внаслідок їх деформації, так і ковзання поверхні одного кулі по поверхні іншого. Очевидно, що внаслідок ковзання поверхонь виникнуть сили тертя, які разом з пружними силами взаємодії визначать зміна швидкості куль після удару. Крім того, сили тертя викличуть обертання куль щодо їх центрів мас.

Для того щоб уявити механізм удару, розкладемо вектори швидкостей обох куль до удару на напрям лінії центрів куль і на напрямок перпендикулярний до цієї лінії.