Реферат гіпербола (математика)

1 Історія
2 Визначення
- 2.1 Конічне перетин
- 2.2 Як геометричне місце точок
  - 2.2.1 Через фокуси
  - 2.2.2 Через директрису і фокус
3 Пов'язані визначення
- 3.1 Співвідношення
4 Рівняння
- 4.1 Декартові координати
- 4.2 Полярні координати
5 Властивості
- 5.1 Асимптоти
- 5.2 Діаметри
6 Дотична і нормаль
7 Кривизна і радіус кривизни гіперболи. Еволюта
8 Типи гіпербол
- 8.1 Гіперболи, пов'язані з трикутником
9 Координатні системи Література

Гіпербола і її фокуси

Гіпербола (грец. Ὑπερβολή. Від грец. Βαλειν - «кидати», ὑπερ - «понад») - геометричне місце точок M Евклідовій площині, для яких абсолютне значення різниці відстаней від M до двох виділених точок F1 і F2 (званих фокусами) постійно. точніше,

Поряд з еліпсом і параболою, гіпербола є конічним перетином і квадрік. Гіпербола може бути визначена як конічний перетин з ексцентриситетом, великим одиниці.

1. Історія

Термін «гіпербола» (грец. Ὑπερβολή - надлишок) був введений Аполлонием Пергськім (бл. 262 рік до н. Е. - бл. 190 рік до н. Е.), Оскільки завдання про побудову точки гіперболи зводиться до задачі про програму з надлишком .

2. Визначення

Гіпербола може бути визначена декількома шляхами.

2.1. конічний перетин

Три основних конічних перетину

Гіпербола може бути визначена, як безліч точок, утворене в результаті перетину кругового конуса площиною, що відтинає обидві частини конуса. Іншими результатами розтину конуса площиною є парабола, еліпс, а також такі вироджені випадки, як схрещені і співпадаючі прямі і точка, що виникають, коли січна площина проходить через вершину конуса. Зокрема, схрещені прямі можна вважати виродженої гіперболою, що збігається зі своїми асимптотами.

2.2. Як геометричне місце точок

2.2.1. через фокуси

Гіпербола може бути визначена, як Геометричне місце точок, різниця відстаней яких до двох заданих точок, які називаються фокусами, однакова і дорівнює 2a.

2.2.2. Через директрису і фокус

Геометричне місце точок, для яких відношення відстані до фокуса і до заданої прямої, званої директоркою, постійно і більше одиниці, називається гіперболою. Задана постійна ε називається ексцентриситетом гіперболи.

3. Пов'язані визначення

Асимптоти гіперболи (червоні криві), показані блакитним пунктиром, перетинаються в центрі гіперболи, C. Два фокусу гіперболи позначені як F1 і F2. Директриси гіперболи позначені лініями подвійної товщини і позначені D1 і D2. Ексцентриситет ε дорівнює відношенню відстаней точки P на гіперболі до фокуса і до відповідної директриси (показані зеленим). Вершини гіперболи позначені як ± a.

Гіпербола складається з двох окремих кривих, які називають гілками.
Найближчі один до одного точки двох гілок гіперболи називаються вершинами.
Найкоротша відстань між двома гілками гіперболи називається великий віссю гіперболи.
Середина великий осі називається центром гіперболи.
Відстань a від центру гіперболи до однієї з вершин називається велика піввісь гіперболи.
Відстань від центру гіперболи до одного з фокусів називається фокальним расстояніемс.
Обидва фокуса гіперболи лежать на продовженні великої осі на однаковій відстані від центру гіперболи. Пряма, що містить велику вісь гіперболи, називається дійсною або поперечною віссю гіперболи.
Пряма, перпендикулярна дійсної осі і проходить через її центр називається уявною або сполученої віссю гіперболи.
Відрізок між фокусом гіперболи і гіперболою, перпендикулярний її дійсної осі, називається фокальним параметром.
Відстань від фокуса до асимптоти гіперболи називається прицільним параметром. (Чисельно прицільний параметр дорівнює b.)
У завданнях, пов'язаних з рухом тіл по гіперболічних траєкторіях відстань від фокуса до найближчої вершини гіперболи називається періцентріческім відстанню.

3.1. співвідношення

4. Рівняння

4.1. декартові координати

Гіпербола задається рівнянням другого ступеня в декартових координатах (x. Y) на площині:

Переміщенням центру гіперболи в початок координат і обертанням її відносно центру на кут Φ рівняння гіперболи можна привести до канонічного виду

де велика a і мала b півосі.

4.2. полярні координати

Якщо полюс знаходиться у фокусі гіперболи, а вершина гіперболи лежить на продовженні полярної осі, то

Якщо полюс знаходиться у фокусі гіперболи, а полярна вісь паралельна одній з асимптот, то

5. Властивості

Оптичне властивість. Світло від джерела, що знаходиться в одному з фокусів гіперболи, відбивається другий гілкою гіперболи таким чином, що продовження відбитих променів перетинаються в другому фокусі.
Для будь-якої точки лежить на гіперболі відношення відстаней від цієї точки до фокусу до відстані від цієї ж точки до директриси є величина постійна.
Гіпербола має дзеркальною симетрією щодо дійсної і уявної осей, а також обертальної симетрією при повороті на кут 180 ° навколо центру гіперболи.

Кожна гіпербола має пов'язану гіперболу. для якої дійсна і уявна осі міняються місцями, але асимптоти залишаються колишніми. Це відповідає заміні a і b один на одного в формулі, яка описує гіперболу. Сполучена гіпербола не є результатом повороту початкової гіперболи на кут 90 °; обидві гіперболи розрізняються формою.

Форма гіперболи повністю визначається її ексцентрісітетомε. який для гіперболи завжди більше одиниці. Чисельно, ексцентриситет дорівнює відношенню фокальної відстані до великої півосі. Також ексцентриситет можна визначити, як відношення відстаней від довільної точки гіперболи до фокуса до відстані від цієї точки до відповідної прямої, паралельної уявної осі, званої директоркою. Звідси, відстань від центру гіперболи до директриси одно a / ε. Ексцентриситет можна виразити за допомогою величин a. b. c і θ наступним чином:

Наприклад, ексцентриситет равнобочной гіперболи, у якій (θ = 45 °. A = b) дорівнює

У деяких прикладних задачах для опису форми гіперболи вживають конічну константу k. яка пов'язана з ексцентриситетом наступним чином:

Величина фокального параметра виражається через велику і малу піввісь як

5.1. асимптоти

Дві пов'язані гіперболи (блакитна і зелена) мають співпадаючими асимптотами (червоні). Ці гіперболи одиничні і равнобочной, так як a = b = 1.

Гіпербола, в її канонічному вигляді, задається парою функцій:

Кутовий коефіцієнт асимптоти можна знайти наступним чином:

Зсув по осі ординат

Пошук межі для дає той же результат. Значить, кожна гіпербола має пару асимптот. Рівняння асимптот мають канонічний вигляд:

Таким же чином можна довести, що сполучена гіпербола:

має ті ж самі асимптоти.

5.2. діаметри

Діаметром гіперболи, як і будь-якого конічного перетину, є пряма, що проходить через середини паралельних хорд. Кожному напрямку паралельних хорд відповідає свій пов'язаний діаметр. Всі діаметри гіперболи проходять через її центр. Діаметр, відповідний хордам, паралельним уявної осі, є дійсна вісь; діаметр відповідний хордам, паралельним дійсної осі, є уявна вісь.

Кутовий коефіцієнт паралельних хорд і кутовий коефіцієнт відповідного діаметру пов'язаний співвідношенням

Якщо діаметр a ділить навпіл хорди, паралельні діаметру b. то діаметр b ділить навпіл хорди, паралельні діаметру a. Такі діаметри називаються взаємно сполученими. Головними діаметрами називаються взаємно пов'язані і взаємно перпендикулярні діаметри. У гіперболи є тільки одна пара головних діаметрів - дійсна і уявна осі.

6. Дотична і нормаль

Оскільки гіпербола є гладкою кривою, в кожній її точці (x0. Y0) можна провести дотичну і нормаль. Рівняння дотичної до гіперболи, заданої канонічним рівнянням, має вигляд:

або, що те ж саме,

Висновок рівняння дотичній

Рівняння дотичної довільної плоскої лінії має вигляд

Канонічне рівняння гіперболи можна представити у вигляді пари функцій

Тоді похідна цих функцій має вигляд

Підставивши це рівняння в загальне рівняння дотичній, отримаємо

Рівняння нормалі до гіперболи має вигляд:

Висновок рівняння нормалі

Рівняння нормалі довільної плоскої лінії має вигляд

Канонічне рівняння гіперболи можна представити у вигляді пари функцій

Тоді похідна цих функцій має вигляд

Підставивши це рівняння в загальне рівняння нормалі, отримаємо

7. Кривизна і радіус кривизни гіперболи. Еволюта

Синім кольором показана гіпербола. Зеленим кольором - еволюта правійгілки цієї гіперболи (еволюта лівій гілці поза малюнка. Червоним кольором показаний коло, відповідний кривизні гіперболи в їй вершині.)

Кривизна гіперболи в кожній її точці (x. Y) визначається з виразу:

Відповідно, радіус кривизни має вигляд:

Так, для точки з координатами (a. 0) радіус кривизни дорівнює

Висновок формули для радіуса кривизни

Формула для радіуса кривизни плоскої лінії, заданої параметіческі, має вигляд:

Скористаємося параметричних поданням гіперболи:

Тоді, перша похідна x і y по t має вигляд

а друга похідна -

Підставляючи ці значення в формулу для кривизни отримуємо:

Координати центрів кривизни задаються парою рівнянь:

Підставивши в останню систему рівнянь замість x і y їх значення з параметричного уявлення гіперболи, отримаємо пару рівнянь, які задають нову криву, що складається з центрів кривизни гіперболи. Ця крива називається еволюта гіперболи.

8. Типи гіпербол

Гіперболу, у якій a = b. називають равнобочной. Равнобочная гіпербола в деякій прямокутній системі координат описується рівнянням

при цьому фокуси гіперболи розташовуються в точках (a, a) і (-a, -a).

8.1. Гіперболи, пов'язані з трикутником

гіпербола Енжабека - крива, ізогонально сполучена прямий Ейлера;
гіпербола Киперта - крива, ізогонально сполучена прямий OK, де K - Точка Лемуана, а O - центр описаного кола даного трикутника.

Еліптична система координат

9. Координатні системи

Сімейство конфокальної (софокусних) гіпербол разом з сімейством софокусних еліпсів утворюють двовимірну еліптичну систему координат. Ці гіперболи задаються рівнянням

Тут фокуси знаходяться на відстані c від початку координат, θ - кут між дійсною віссю гіперболи і асимптотой. Кожна гіпербола в сімействі ортогональна кожному еліпсу, що має ті ж фокуси. Ортогональность може бути доведена за допомогою конформного перетворення декартової системи координат w = z + 1 / z. де z = x + iy початкова декартова система координат, а w = u + iv вона ж після перетворення.

Інші ортогональні двовимірні координатні системи, побудовані за допомогою гіпербол, можуть бути отримані за допомогою інших конформних перетворень. Наприклад, перетворення w = z ² відображає декартові координати в два сімейства ортогональних гіпербол.