Реферат число як основне поняття математики - банк рефератів, творів, доповідей, курсових і

«Послухайте, що смертним зробив я ... Число їм подарував

І букви навчив з'єднувати ... Есхіл, «Закутий Прометей»

Есхіл, «Закутий Прометей» «Якби ні число і його природа, ніщо існуюче не можна було б осягнути їм саме по собі, ні в його відносинах до інших речей. Міць чисел проявляється у всіх діяннях і помислах людей, в усіх ремес- лах і в музиці »Піфагорієць Филолай, 5 ст. до н. е.

Число є одним з основних понять математики. Поняття числа розвивалося в тісному зв'язку з вивченням величин; цей зв'язок зберігається і тепер. У всіх розділах сучасної математики доводиться розглядати різні величини і користуватися числами

Існує велика кількість визначень поняття «число».

Перше наукове визначення числа дав Евклід у своїх «Засадах», яке він, очевидно, успадкував від свого співвітчизника Евдокса Кнідського (близько 408 - близько 355 рр. До н. Е.): «Одиниця є те, відповідно до чого кожна з існуючих речей називається однієї. Число є безліч, складене з одиниць ». Так визначав поняття числа і український математик Магніцький в своїй «Арифметиці» (1703 г.).

Ще раніше Евкліда Аристотель дав таке визначення: «Число є безліч, яке вимірюється за допомогою одиниць».

За словами грецького філософа Ямвлиха, ще Фалес - родоначальник грецької стихійно-матеріалістичної філософії - учив, що «число є система одиниць». Це визначення було відомо і Піфагору.

У своїй «Загальній арифметиці» (1707 р) великий англійський фізик, механік, астроном і математик Ісаак Ньютон пише: «Під числом ми подра- зумеваем не так багато одиниць, скільки абстрактне відношення якої-небудь величини до іншої величини такого ж роду, взятої за одиницю. Число буває трьох видів: ціле, дробове і ірраціональне. Ціле число є те, що вимірюється одиницею; дробове - кратною частиною одиниці, ірраціональне - число, що не порівнянне з одиницею ».

Наш маріупольський математик С.Ф.Клюйков також вніс свій внесок у визначення поняття числа: «Числа - це математичні моделі реального світу, придумані людиною для його пізнання». Він же вніс в традиційну класифікацію чисел так звані «функціональні числа», маючи на увазі те, що в усьому світі зазвичай називають функціями. Більш докладно про це викладено в розділі 9.

1. Натуральні числа

Поняттям «натуральне число» в сучасному його розумінні послідовно користувався видатний французький математик, філософ-просвітитель Даламбер (1717-1783 рр.).

Початкові уявлення про число з'явилися в епоху кам'яного віку, при переході від простого збирання їжі до її активного виробництва, приблизно 100 століть до н. е. Числові терміни важко зароджувалися і повільно входили у вжиток. Стародавній людині було далеко до абстрактного мислення, вистачило того, що він придумав числа: «один» і «два». Решта кількості для нього залишалися невизначеними й поєднувалися в понятті «багато».

Зростало виробництво їжі, додавалися об'єкти, які потрібно враховувати в повсякденному житті, в зв'язку з чим придумувалися нові числа: «три», «чотири» ... Довгий час межею пізнання було число «сім».

Про незрозумілому говорили, що ця книжка «за сімома печатками», знахарки в казках давали хворому «сім вузликів з лікарськими травами, які треба було наполягти на семи водах протягом семи днів і приймати щодня по сім ложок».

Пізнаваний світ ускладнювався, були потрібні нові числа. Так дійшли до нової межі. Їм стало число 40. Позамежні кількості моделювалися величезним на ті часи числом «сорок сороків», дорівнює 1600.

Пізніше, коли число «сорок» вже перестало бути граничним, воно стало відігравати велику роль в російській метрології як основа системи заходів: пуд мав 40 фунтів, бочка-сороковка - сорок відер і т.д.

Великий інтерес викликає історія числа «шістдесят», яке часто фігурує у вавилонських, перських і грецьких легендах як синонім великого числа. Вавилоняни вважали його Божим числом: шістдесят ліктів у висоту мав золотий ідол з храму вавилонського царя Навуходоносора. Пізніше з тим же самим значенням (сила-силенна) виникли числа, кратні 60: 300, 360. З часом число 60 у Вавилоні лягло в основу Шістдесяткова системи обчислення, сліди якої збереглися до наших днів при вимірі часу і кутів.

Наступним межею у слов'янського народу було число «тьма», (у древніх греків - міріад), що дорівнює 10 000, а межею - «тьма тьмуща», рівне 100 мільйонам. У слов'ян застосовували також і іншу систему числення (так зване «велике число» або «великий рахунок»). У цій системі «тьма» дорівнювала 106, «легіон» - 1012, «леодр» - 1024, «ворон» - 1048, «колода» - 1096, після чого додавали, що більшого числа не існує.

В античному світі далі всіх просунулися Архімед (III в. До н.е.) в «обчисленні піщинок» - до числа 10, зведеного в ступінь 8х1016. і Зенон Елейський (IV ст. до н. е.) в своїх парадокси - до нескінченності ∞.

1.1. Функції натуральних чисел

Натуральні числа мають дві основні функції:

характеристика кількості предметів;

характеристика порядку предметів, розміщених в ряд.

Відповідно до цих функцій виникли поняття порядкового числа (перший, другий і т.д.) і кількісного числа (один, два і т.д.).

Довго і важко людство добирався до 1-го рівня узагальнення чисел. Сто століть знадобилося, щоб вибудувати ряд найкоротших натуральних чисел від одиниці до нескінченності: 1, 2, ... ∞. Натуральних тому, що ними позначалися (моделювалися) реальні неподільні об'єкти: люди, тварини, речі ...

2. Раціональні числа

2.1. Дробові числа

2.1.1. Про походження дробів

З виникненням уявлень про цілих числах виникали уявлення і про частини одиниці, точніше, про частини цілого конкретного предмета. З появою натурального числа n виникло уявлення про дроби виду 1 / n. яка називається зараз аликвотной, родової або основний.

Щоб з'ясувати питання про походження дробу, треба зупинитися не на рахунку, а на іншому процесі, який виник зі стародавніх часів, - на вимірі. Історично дробу виникли в процесі вимірювання.

В основі будь-якого вимірювання завжди лежить якась величина (довжина, обсяг, вага і т.д.). Потреба в більш точних вимірах привела до того, що початкові одиниці міри почали дробити на 2, 3 і більше частин. Більш дрібної одиниці заходи, яку отримували як наслідок роздроблення, давали індивідуальне назву, і величини вимірювали вже цієї меншої одиницею.

Так виникали перші конкретні дроби як певні частини якихось певних заходів. Тільки набагато пізніше назвами цих конкретних дробів почали позначати такі ж самі частини інших величин, а потім і абстрактні дроби.

2.1.2. Дробу в Стародавньому Римі

Римляни користувалися, в основному, тільки конкретними дробами, які заміняли абстрактні частини підрозділами використовуваних заходів. Вони зупинили свою увагу на міру «ас», який у римлян служив основною одиницею вимірювання маси, а також грошовою одиницею. Ас ділився на дванадцять частин - унцій. З них складали всі дроби зі знаменником 12, тобто 1/12, 2/12, 3/12 ...

Так виникли римські дванадцяткова дробу, тобто дробу, у яких знаменником завжди було число 12. Замість 1/12 римляне говорили «одна унція», 5/12 - «п'ять унцій» і т.д. Три унції називалися чвертю, чотири унції - третю, шість унцій - половиною.

Зараз «ас» - аптекарський фунт.

2.1.3. Дробу в Стародавньому Єгипті

Перша дріб, з якою познайомилися люди, була, напевно, половина. За нею послідували 1/4, 1/8 ..., потім 1/3. 1/6 і т.д. тобто найпростіші дроби, частки цілого, звані одиничними або основними дробами. У них чисельник завжди одиниця. Деякі народи старовини і, в першу чергу, єгиптяни висловлювали будь-яку дріб у вигляді суми тільки основних дробів. Лише значно пізніше у греків, потім у індійців і інших народів стали входити у вжиток і дробу загального вигляду, звані звичайними, у яких чисельник і знаменник можуть бути будь-якими натуральними числами.

У Стародавньому Єгипті архітектура досягла високого розвитку. Для того, щоб будувати грандіозні піраміди і храми, щоб обчислювати довжини, площі і обсяги фігур, необхідно було знати арифметику.

З розшифрованих відомостей на папірусах вчені дізналися, що єгиптяни 4 000 років тому мали десяткову (але не позиційну) систему числення, вміли вирішувати багато завдань, пов'язані з потребами будівництва, торгівлі і військової справи.

Ось як записували єгиптяни свої дробу. Якщо, наприклад, в результаті вимірювання виходило дробове число 3/4. то для єгиптян воно уявлялося у вигляді суми одиничних дробів ½ + ¼.

2.1.4. Вавилонські шістдесяткова дроби

Письмова шістдесяткова нумерація вавилонян комбинировалась їх двох значків: вертикального клина ▼, так називали одиницю, і умовного знака ◄, так називали десять. У вавилонських клинописних текстах вперше зустрічається позиційна система числення. Вертикальний клин позначав не тільки 1, але і 60, 602, 603 і т.д. Знака для нуля в позиційній Шістдесяткова системі у вавилонян спочатку не було. Пізніше був введений знак èè. замінює сучасний нуль, для відділення розрядів між собою.

Походження Шістдесяткова системи числення у вавилонян пов'язано, як вважають вчені, з тим, що вавилонська грошова і вагова одиниця виміру поділялися в силу історичних умов на 60 рівних частин:

1 талант = 60 хв;

Шістдесяті частки були звичні в житті вавилонян. Ось чому вони користувалися шістдесяткова дробом, що мають знаменником завжди число 60 або його ступеня: 602 = 3600, 603 = 216000 і т.д. В цьому відношенні шістдесяткова дробу можна порівняти з нашими десятковими дробами.

Вавилонська математика вплинула на грецьку математику. Сліди вавилонської Шістдесяткова системи числення втрималися в сучасній науці при вимірі часу і кутів. До наших днів збереглося розподіл години на 60 хв. хвилини на 60 з, окружності на 360 градусів, градуса на 60 хв. хвилини на 60с.

Вавилоняни внесли цінний внесок в розвиток астрономії. Шістдесяткова дробом користувалися в астрономії вчені всіх народів до XVII століття, називаючи їх астрономічними дробами. На відміну від них, дробу загального вигляду, якими користуємося ми, були названі звичайними.

2.1.5. Нумерація й дробу в Древній Греції

У Стародавній Греції арифметику - вчення про загальні властивості чисел - відокремлювали від логістики - мистецтва обчислення. Греки вважали, що дробу можна використовувати тільки в логістиці. Тут ми вперше зустрічаємося із загальним поняттям дробу виду m / n. Таким чином, можна вважати, що вперше область натуральних чисел розширилася до області додаткових раціональних чисел в Стародавній Греції не пізніше V століття до н. е. Греки вільно оперували всіма арифметичними діями з дробами, але числами їх не визнавали.

У Стародавній Греції існували дві системи письмової нумерації: аттическая і ионийская або алфавітна. Вони були так названі по давньогрецьким областям - Аттика й Іонія. В аттичної системі, названої також геродіановой, більшість числових знаків є першими буквами грецьких відповідних числівників, наприклад, ГЕNTE (Гент або центі) - п'ять, # 916; ЕКА (дека) - десять і т.д. Цю систему застосовували в Аттиці до I століття н.е. але в інших областях Стародавньої Греції вона була ще раніше замінена більш зручною алфавітної нумерацією, швидко поширилася по всій Греції.

Греки вживали поряд з одиничними, «єгипетськими» дробами і загальні звичайні дроби. Серед різних записів вживалася і така: зверху знаменник, під ним - чисельник дробу. Наприклад, 5/3 означало три п'ятих і т.д.

2.1.6. Нумерація і дробу на Русі

Як свідчать стародавні пам'ятники російської історії, наші предки-слов'яни, які перебували в культурному спілкуванні з Візантією, користувалися десятковою алфавітної слов'янської нумерацією, подібної з ионийской. Над буквами-числами ставився особливий знак, названий Титло. Для позначення тисячі застосовувався інший знак, який приставлявся зліва від букв.

В українських рукописних арифметика XVII століття дробу називали частками, пізніше «ламаними числами». У старих довідниках знаходимо такі назви дробів на Русі:

1/2 - половина, полтина

Слов'янська нумерація вживалася вУкаіни до XVI століття, потім в країну почала поступово проникати десяткова позиційна система числення. Вона остаточно витіснила слов'янську нумерацію за Петра I.

2.1.7. Дробу в інших державах давнини

У китайській «Математики в дев'яти розділах» уже мають місце скорочення дробів і всі дії з дробами.

У індійського математика Брахмагупти ми знаходимо досить розвинену систему дробів. У нього зустрічаються різні дроби: і основні, і похідні з будь-яким чисельником. Чисельник і знаменник записуються так само, як і у нас зараз, але без горизонтальної риси, а просто розміщуються один над іншим.

Араби першими почали відокремлювати рисою чисельник від знаменника.

Леонардо Пізанський вже записує дробу, поміщаючи в разі змішаного числа, ціле число праворуч, але Новомосковскет так, як прийнято у нас. Йордан Неморарій (XIII ст.) Виконує розподіл дробів за допомогою розподілу чисельника на чисельник і знаменник на знаменник, уподібнюючи розподіл множенню. Для цього доводиться члени першого дробу доповнювати множниками:

У XV - XVI століттях вчення про дробах набуває вже знайомий нам тепер вид і оформляється приблизно в ті самі розділи, які зустрічаються в наших підручниках.

Слід зазначити, що розділ арифметики про дроби довгий час був одним з найбільш важких. Недарма у німців збереглася приказка: «Потрапити в дроби», що означало - зайти

Поняття "задача" і процес її рішення. Технологія навчання прийомам сприйняття і осмислення, пошуку і складання плану рішення. Методика навчання рішенню завдань різними методами. Сутність, зміст і позначення дробів, практичні способи їх порівняння.

Проблема несумірних, перша криза в підставі математики, його наслідки і спроби подолання. Зародження і розвиток поняття числа. Становлення теорії межі, створення теорії дійсного числа. Великі метематікі: Вейерштрасс, Кантор, Дедекинд.

Історія виникнення і розвитку арабських цифр, особливості їх написання, зручність в порівнянні з іншими системами. Знайомство з цифрами різних народів: системою числення Стародавнього Риму, китайськими, деванагарі і їх розвитком від давнини, до наших днів.

Поняття про комплексні числа. Дії з комплексними числами. Рішення рівнянь з комплексним змінним.

Міністерство освіти Республіки Білорусь Могилевський державний університет ім. А.А. Кулешова Кафедра методики викладання математики

Історія розвитку систем числення. Непозиційних, позиційна і десяткова система числення. Використання систем числення в комп'ютерній техніці та інформаційних технологіях. Двійкове кодування інформації в комп'ютері. Побудова двійкових кодів.

Первісна та невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів. Деякі властивості невизначеного інтеграла. Інтегрування методом заміни зміною або способом підстановки. Інтегрування по частинах.

Досягнення давньогрецьких математиків, які жили в період між VI століттям до н.е. і V століттям н.е. Особливості початкового періоду розвитку математики. Роль піфагорейської школи в розвитку математики: Платон, Евдокс, Зенон, Демокріт, Евклід, Архімед, Аполлоній.

Визначення ірраціональних рівнянь. Опреднленіе ірраціональних чисел. Методи рішення ірраціональних рівнянь.

Алгебраїчним виразом називається вираз, складене з кінцевого числа букв і чисел, з'єднаних знаками дій додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення на всю ступінь і добування кореня.

Етапи розвитку натуральних чисел. Суть методу "решето Ератосфена" і проблеми Гольдбаха. Властивості, закони і закономірності фігурних, багатокутних, скоєних, дружніх, товариських цифр. Містичні уявлення про значення 666 і 1001.

Арифметичні тотожності, ступеня, дробу, логарифми.

Розвиток математики в стародавньому Китаї з II ст. до н.е. по VII ст.н.е. Древнє математичне "Десятікніжье". Зародження групового десяткового рахунку і мультиплікативного принципу фіксування чисел в епоху Інь. Класична "Математика в дев'яти книгах".

Досягнення давньоєгипетської математики. Джерела, за якими можна судити про рівень знань стародавніх єгиптян. Завдання на арифметичну і геометричну прогресії, знаходження числа Пі, підкреслюють практичний і теоретичний характер давньої математики.

Використання геометричних креслень як ілюстрації алгебраїчних співвідношень зустрічалося ще в Стародавньому Єгипті і Вавилоні.

Давньогрецькі математики вважали "справжніми" тільки натуральні числа. Поступово складалося уявлення про нескінченність безлічі натуральних чисел.

Найдавнішою математичної діяльністю був рахунок. Рахунок був необхідний, щоб стежити за поголів'ям худоби і вести торгівлю.

Дріб, чіслівнік и знаменнік которого є многочленами, назівається раціональнім (алгебраїчнім). Приведення раціональних дробів до Спільного знаменніка. Скоротіті Дріб - це означає розділіті чіслівнік и знаменнік дробу на Спільний множнік.

Одиниці вимірювань різних народів. Методи вимірювань Стародавньої Русі.