Реальні числа - це
Існує кілька стандартних шляхів визначення дійсних чисел:
аксіоматичне визначення
Безліч дійсних чисел можна визначити як топологічно повне, упорядковане поле. тобто поле зі ставленням, яке задовольняє наступним аксіомам:
- Ставлення є відношенням лінійного порядку:
- Для будь-яких або;
- Якщо і, то a = b для будь-яких;
- Якщо і, то для будь-яких;
- Порядок погоджено зі структурою поля:
- Якщо, то для будь-яких;
- Якщо і, то.
- Порядок на задовольняє умові повноти:
- Нехай - непусті підмножини, такі що для будь-яких і, тоді існує таке, що для будь-яких і.
Примітки
З властивості 3 випливає, що у будь-якого непорожньої обмеженого зверху безлічі (тобто такого, що для всіх x з A все для деякого) існує точна верхня грань (мінімальна з усіх), тобто число таке, що
- Для всіх x з A всі
- Якщо властивості (1) задовольняє також число, то.
Наявність точних верхніх граней у обмежених зверху множин еквівалентно аксіомі повноти і часто замінює її в аксіоматиці поля.
Будь-які два поля з відношенням порядку, що задовольняє цим аксіомам, ізоморфні. тому можна говорити, що існує єдине таке поле. (Насправді, правильніше говорити, що єдина структура повного впорядкованого поля, кожне поле, яке її має, служить моделлю безлічі дійсних чисел, так як будь-які дві моделі ізоморфні.)
Поповнення раціональних чисел
Речові числа можуть бути побудовані як поповнення безлічі раціональних чисел по відношенню до звичайної метриці.
Більш точно, розглянемо всі фундаментальні послідовності раціональних чисел ri>. На таких послідовностях можна природним чином ввести арифметичні операції: ri> + qi> = ri + qi> і.
Дві такі послідовності і вважаються еквівалентними, якщо при.
Безліч дійсних чисел можна визначити як класи еквівалентності цих послідовностей.
дедекіндових перетину
Переріз дедекінда - це розбиття множини раціональних чисел на два підмножини A і B такі, що:
- для будь-яких і;
- B не має мінімального елемента.
Безліч дійсних чисел визначається як безліч дедекіндових перетинів. На них можна продовжити операції додавання і множення.
Наприклад, вещественному числу відповідає переріз дедекінда, яке визначається або й і x 2> 2>. Інтуїтивно, можна уявити собі, що для того щоб визначити ми розсікли безліч на дві частини: всі числа, що лівіше і все числа, що правіше; соотвеетственно, так само точної нижньої межі безлічі B.
Нескінченні десяткові дроби
Таке завдання, як правило, практикується в шкільній програмі і багато в чому схоже на поповнення раціональних чисел.
Нескінченної десятковим дробом (зі знаком) називається послідовність виду, де di є десятковими цифрами. тобто .
Дві послідовності називаються еквівалентними, якщо вони або збігаються, або їх різняться «хвости» мають вигляд і, де, або якщо це «нульові» послідовності (всі di рівні 0), що відрізняються тільки знаком.
Речові числа визначаються як класи еквівалентності десяткових дробів. Операції на десяткових дробах визначаються позиційно подібно операціями над цілими числами в позиційних системах числення.
Значення десяткового дробу формально задається сумою ряду.
счетності безлічі
Примітки
- ↑ Традиційно в Харкові (СПбДУ) прийнято назву речові. а в Москві (МГУ) - дійсні.
Дивитися що таке "Реальні числа" в інших словниках:
РЕАЛЬНІ НАВЧАЛЬНІ ЗАКЛАДИ - неповні середні або середні образо ват установи Програми і уч плани P у з будувалися відповідно до принципів реального освіти Одним з перших P у з в Європі були Навигацкая школа (1701, Київ). і матем. і механічні реальна школа в ... ... українська педагогічна енциклопедія
Реальні училища - Первісна історія Р. училищ на Заході тісно пов'язана з історією реального освіти в Німеччині першим пустив в хід назва Realschule Земмлер, що заснував в Галле в 1706 р Математичну і механічну реальну школу для дітей від 10 до 14 ... ... Енциклопедичний словник Ф. А. Брокгауза і І.А. Ефрона
Зменшення числа гомологічних органів - Гомологічними (від ін. Грец. Ὅμοιος «подібний, схожий» і ін. Грец. Λογος «слово», «закон») називають зіставні частини порівнюваних об'єктів. У біології поняття гомології використовується в порівняльної анатомії з середини XIX століття, і в ... ... Вікіпедія
Комутаційні ЧИСЛА - система табличних показників, що застосовується для визначення тарифних ставок і резерву внесків по страхуванню життя. Складовими частинами даних показників є чисельність осіб, що живуть (lx) і вмираючих (dx) у віці х років (з табл. Смертності ... Фінансово-кредитний енциклопедичний словник
Простір елементарних подій - простір елементарних подій безліч всіх різних випадків випадкового експерименту. Елемент цієї множини називається елементарним подією або результатом. Простір елементарних подій називається дискретним, якщо число його ... ... Вікіпедія
Елементарне подія - В теорії ймовірностей елементарні події або події атоми це наслідки випадкового експерименту, з яких в експерименті відбувається рівно один. Безліч всіх елементарних подій звичайно позначається Ω. Будь-яке підмножина безлічі Ω ... ... Вікіпедія
КРИТЕРІЇ І РІВНІ ВИМІРЮВАННЯ - (criteria and levels of measurement) правила, що керують призначенням відповідної величини, коду або рахунки спостережуваного явища. Найбільш широко використовувана класифікація винайдена Стивенсом (1946 1951), який ідентифікував чотири ... ... Великий тлумачний соціологічний словник
Основа вербування - реальні обставини, об'єктивні передумови, які спонукають вербуемого піти на секретне співробітництво з органами контррозвідки (розвідки). Розрізняють три види основ вербування: ідейно політичну; матеріальну чи іншу особисту ... ... Контррозвідувальний словник
Гімназія - (від грец. Γυμνάζω, gymnasion приміщення для гімнастичних вправ, спортзал) державний навчальний заклад, термін також вживався в значенні «місце для вправ». У першому значенні гімназія зустрічається в древніх містах ... ... Вікіпедія
- Загадки числа. І. Е. Берлянд. Ця книга - перший досвід уявної школи, де на уявних уроках математики уявні учні та їх учитель обговорюють реальні математичні проблеми числа, рахунки, вимірювання, вчаться ... Детальніше Купити за 1571 руб
- Загадки числа. І. Е. Берлянд. Ця книга - перший досвід уявної школи, де на уявних уроках математики уявні учні та їх учитель обговорюють реальні математичні проблеми числа, рахунки, вимірювання, вчаться ... Детальніше Купити за 675 грн (тільки Україна)
- Книга, яка не має. Надія Калініна. Ця книга буде виготовлена в відповідності з Вашим замовленням за технологією Print-on-Demand. Небо посилає нам Звістка через Числа, які там є літерами, це космічний мову спілкування, як ... Детальніше Купити за 299 руб