Раціональні дроби - студопедія

Якщо P (z) і Q (z) - многочлени в комплексній області, то - раціональний дріб. Вона називається правильною. якщо ступінь P (z) менше ступеня Q (z). і неправильною. якщо ступінь Р не менш ступеня Q. Будь-яку неправильну дріб можна представити у вигляді:. де P (z) = Q (z) S (z) + R (z), a R (z) - поліном, ступінь якого менше ступеня Q (z). Таким чином, інтегрування раціональних дробів зводиться до інтегрування многочленів, тобто статечних функцій, і правильних дробів, так як є правильним дробом.

Лемма 1. Якщо - правильна раціональна дріб і z0 - корінь її знаменника кратності k. тобто то існують число А і многочлен P1 (z) такі, що

де останній доданок є правильним дробом.

. При цьому останній доданок є правильним дробом. Виберемо число А так, щоб z0 було коренем багаточлена P (z) - AQ1 (z). тобто . Тоді по теоремі Безу. Лема доведена.

Зауваження. Якщо коефіцієнти многочленів Р і Q і обраний корінь знаменника - дійсні числа, то і коефіцієнти многочленів P1 і Q1 - теж дійсні числа.

Теорема 8.3. Якщо - правильна раціональна дріб і. то існують такі комплексні числа що

Застосувавши k1 раз лемму 1 до дробу. отримаємо:

де. Застосовуючи потім ту ж лемму до решти коренів знаменника, прийдемо до формули (8.5).

Лемма 2. Нехай Р (х) і Q (x) - многочлени з дійсними коефіцієнтами, причому Q (x) = (x ² + px + q) m Q1 (x), де p ² - 4q <0. Тогда существуют такие действительные числа В, С и многочлен с действительными коэффициентами Р1 (х), что

де останній доданок теж є правильним дробом.

де останній доданок є правильним дробом. Виберемо В і С такими, щоб число z0 = x0 + iy0 (корінь многочлена z ² + pz + q) було коренем багаточлена P (х) - (b х + C) Q1 (х). Можна показати, що при цьому де.

Отже, В і С - дійсні числа, а z0 і (число, комплексно поєднане z0) - коріння многочлена P (х) - (b х + C) Q1 (х). Тоді по теоремі Безу він ділиться на

. Тому останню дріб в рівність (8.7) можна скоротити на x ² + px + q і отримати рівність (8.6).

Використовуючи цю лему, можна довести наступну теорему:

Теорема 8.4. Якщо - правильна раціональна дріб, а

де то існують такі дійсні числа

1.. Отримана дріб повинна збігатися з вихідною при будь-яких х. отже, коефіцієнти при однакових степенях х в чисельнику обох дробів повинні бути рівними. Звідси. тобто А = 1, В = -1. Отже, вихідну дріб, знаменник якого має тільки дійсні корені (причому прості, тобто кратності 1) можна представити у вигляді:.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х в чисельнику, отримуємо:

. звідки А = 1, В = -3, С = 3, D = 5. Таким чином, дану дріб, знаменник якого має дійсний корінь х = 0 кратності 2 і комплексно пов'язані коріння перетворимо в суму дробів:

Лекція 9. Інтегрування найпростіших і довільних правильних дробів. Інтегрування довільних раціональних функцій. Інтегрування дробово-лінійних иррациональностей.

У вульгарної лекції було показано, що будь-яку правильну раціональну дріб можна представити у вигляді лінійної комбінації дробів виду:

1). 2). 3). 4). (9.1)

Ці дроби називаються найпростішими (або елементарними) дробом. З'ясуємо, яким чином вони інтегруються.

Зробимо заміну і позначимо. Тоді потрібно обчислити інтеграл

4) При інтегруванні найпростіших дробів останнього типу скористаємося тією ж заміною, що і в попередньому випадку, і уявімо підінтегральний вираз у вигляді:

де Розглянемо окремо спосіб інтегрування In.

Таким чином, отримана рекуррентная формула, що дозволяє в кінцевому рахунку звести обчислення цього інтеграла до

Отже, інтеграл від будь-якої найпростішої дробу знаходиться в явному вигляді і є елементарною функцією.

Теорема 9.1. Невизначений інтеграл від будь-якої раціональної дробу на всякому проміжку, на якому її знаменник не дорівнює нулю, існує і виражається через елементарні функції, а саме раціональні дроби, логарифми і арктангенс.

Уявімо раціональну дріб у вигляді: (див. Лекцію 8). При цьому останній доданок є правильним дробом, і по теоремі 8.4 її можна представити у вигляді лінійної комбінації найпростіших дробів. Таким чином, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування многочлена S (x) і найпростіших дробів, первісні яких, як було показано, мають вигляд, зазначений в теоремі.

Зауваження. Основну складність при цьому становить розкладання знаменника на множники, тобто пошук всіх його коренів.

Інтегрування дробово-лінійних иррациональностей.

З раніше доведеного випливає, що будь-яку раціональну дріб можна проінтегрувати, тому в подальшому будемо вважати завдання інтегрування функції виконаним, якщо вдається уявити цю функцію у вигляді раціонального дробу. Зокрема, для інтегралів виду. де R - раціональна функція (многочлен або раціональний дріб), r1, ..., rn - дроби з одним і тим же знаменником m. а. заміна призводить до. Таким чином, х є раціональною функцією t, отже, його похідна теж буде раціональною функцією. Крім того, - теж раціональні функції від t (так як pi - ціле число). Тому після заміни підінтегральний вираз набуде вигляду R1 (t) dt. де R1 - раціональна функція, інтегрована описаними вище способами.

Зауваження. За допомогою подібних замін можна інтегрувати функції виду. і, зокрема,

1. Зробимо заміну. тоді. а. отже,

2.. Так як . а. виберемо в якості нової змінної. Тоді. Тому

Лекція 10. Інтегрування раціональних тригонометричних виразів. Інтегрування квадратичних иррациональностей. Інтегрованість в елементарних функціях.

Розглянемо інтегрування деяких тригонометричних виразів.

1. Інтеграли виду обчислюються із застосуванням формул (10.1) Приклад.

2. Інтеграли виду. де т і п - цілі числа, інтегруються за допомогою замін: а) якщо хоча б одне з чисел т, п - непарне (наприклад, т), можна зробити заміну t = sin x (або t = cos x при непарному п). Приклад 1. Приклад 2. б) якщо т і п - парні позитивні числа, можна знизити ступеня тригонометричних функцій за допомогою формул. Приклад. в) якщо т і п - парні і хоча б одне з них негативно, можна застосувати заміну t = tg x або t = ctg x. Приклад.

3. Інтеграли виду де R - раціональна функція, зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою універсальної тригонометричної підстановки:. тоді. (10.2) тобто всі складові подинтегрального вислови є раціональні функції від t. Приклад. Якщо підінтегральна функція має вигляд R (sin²x, cos²x), можна вибрати заміну t = tg x. При цьому . (10.3) і ступінь отриманої раціональної функції буде нижче, ніж при універсальної тригонометричної підстановці, що полегшує подальше інтегрування. Приклад.

Інтегрування квадратичних иррациональностей.

При обчисленні інтегралів звести підінтегральної функції до раціональної допомагають заміни:

а) при цьому dx = acos t dt,.

Приклад 1. Обчислимо інтеграл Нехай тоді

. Тому відповідь можна представити у вигляді:

Приклад 2. Для обчислення інтеграла виберемо заміну x = 3tg t. При цьому

. де u = sin t. Представивши підінтегральної функції у вигляді суми найпростіших дробів, отримаємо:

Приклад 3. Обчислимо інтеграл за допомогою заміни. тоді

Інтегрованість в елементарних функціях.

У попередніх лекціях розглянуті методи інтегрування деяких елементарних функцій. Однак далеко не всі елементарні функції інтегровними, тобто мають первісні, також є елементарними функціями. Як приклади можна привести функції та інші. Цим операція інтегрування відрізняється від диференціювання, при якому похідна будь елементарної функції є теж елементарної функцією. Для відшукання інтегралів від функцій, які не мають елементарної первообразной, вводяться і використовуються нові класи функцій, які не є елементарними.

Завдання, що призводять до поняття визначеного інтеграла. Визначений інтеграл, його властивості. Теорема про повну загальну середню для певного інтеграла.

Для вирішення багатьох завдань з різних областей науки і техніки потрібне застосування певного інтеграла. До них відносяться обчислення площ, довжин дуг,

обсягів, роботи, швидкості, шляху, моментів інерції і т.д. Визначимо це поняття.

називається дрібністю розбиття.

Нехай на [a, b] задана функція y = f (x). Виберемо на кожному відрізку розбиття по точці # 958; i і складемо суму виду

звану інтегральною сумою функції f (x). Якщо f (x)> 0, така сума дорівнює сумі площ прямокутників з підставами # 916; xi і висотами f (# 958; i).

Визначення 11.1. Якщо для будь-якого розбиття відрізка [a, b] існує один і той же кінцевий межа інтегральних сум при і:

то функція f (x) називається інтегрованою на відрізку [a, b], а число I називається певним інтеграломf (x) на [a, b] і позначається Числа а і b називаються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.

Крім того, визначення певного інтеграла доповнюється такими твердженнями:

Теорема 11.1 (необхідна умова інтегрованості). Якщо функція інтегровна на деякому відрізку, то вона обмежена на ньому.

Доведення. Нехай f (x) інтегрована на [a, b] і. Зафіксуємо якесь # 949 ;, наприклад, # 949; = 1. За визначенням 11.1 існує таке # 948;> 0, що для будь-якої інтегральної суми # 963; # 964 ;. відповідної розбиття, для якого | # 964; | <δ, верно неравенство | στ – I | <1, откуда I – 1 <στ

Якщо припустити при цьому, що f (x) необмежена на [a, b], то вона необмежена принаймні на одному з відрізків розбиття. Тоді твір f (# 958; i) # 916; xi на цьому відрізку може приймати як завгодно великі значення, тобто інтегральна сума виявляється необмеженою, що суперечить умові інтегрованості f (x).

Зауваження. Умова обмеженості функції є необхідним, але не достатньою умовою інтегрованості. Як приклад розглянемо функцію Дирихле

f (x) = 1, якщо х раціонально, і f (x) = 0, якщо х ірраціонально. Для неї на будь-якому відрізку [a, b] і при будь-якому розбитті на кожному відрізку # 916; xi знайдуться як раціональні, так і ірраціональні значення х. Вибравши в якості # 958; i раціональні числа, для яких f (# 958; i) = 1, отримаємо, що = b - a. Якщо ж вважати, що # 958; i - ірраціональні числа, то = 0. Отже, межа інтегральних сум не існує, і функція Дирихле НЕ інтегрована ні на якому відрізку.