Просторова система сил

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

7.1. Статичні інваріанти. динамічний гвинт

Раніше було встановлено, що головний вектор системи сил, як завгодно розташованих в просторі,

(7.1) не змінюється при зміні центру приведення. Головний же момент при цьому не змінюється і для нового центру приведення визначається формулою

. (7.2) де і - головні моменти щодо центрів приведення О і. Другий доданок в правій частині формули (7.2) являє собою момент головного вектора, прикладеного в центрі приведення О. щодо нового центру приведення.

Помножимо скалярно обидві частини рівності (7.2) на вектор:

Так як вектор перпендикулярний вектору. то їх скалярний добуток дорівнює нулю. отже,

. (7.3) тобто скалярний добуток головного вектора на головний момент не залежить від центру приведення.

Таким чином, при зміні центру приведення не змінюються головний вектор і скалярний твір головного вектора на головний момент. Кажуть, що ці величини інваріантніщодо вибору центру приведення.

Першим статичним інваріантом називається головний вектор. У більш вузькому сенсі цього слова під першим інваріантом розуміють квадрат модуля головного вектора

Другим статичним інваріантом називається скалярний твір головного вектора на головний момент:

З другого інваріанта випливає просте геометричне слідство. Дійсно, запишемо рівність (7.3) в наступному вигляді:

Кожне з цих творів є проекцією головного моменту на напрямок головного вектора. Отже, при зміні центру приведення проекція головного моменту на напрямок головного вектора не змінюється. Зауважимо, що при це наслідок можна прийняти за визначення другого інваріанта.

Так як проекція головного моменту на напрямок головного вектора не змінюється при зміні центру приведення, то можна стверджувати, що для центру приведення, в якому головний вектор і головний момент спрямовані по одній прямій, модуль головного моменту буде мінімальним. У цьому випадку модуль головного момент дорівнює його проекції на напрям головного вектора.

Очевидно, що проекція головного моменту на напрямок головного вектора визначається рівністю

або, беручи до уваги значення першого і другого інваріантів,

Сукупність сили і пари сил з моментом, колінеарну силі, називається динамічним гвинтом або Динамо. Так як площину дії пари перпендикулярна моменту пари, то динамічний гвинт являє собою сукупність сили і пари сил, що діє в площині, перпендикулярній силі. Розрізняють правий і лівий динамічні гвинти. На рис. показаний правий динамічний гвинт, складений з сили. рівній головному вектору системи, і пари сил з моментом. рівним головному моменту; на рис. показаний лівий гвинт, складений з тих же елементів.

Може виникнути питання, в яких випадках дану систему сил можна привести до Динамо? На це питання відповідає наступна теорема:

Якщо другий статичний інваріант не дорівнює нулю, то систему сил можна привести до Динамо. На це питання відповідає наступна теорема:

Якщо другий статичний інваріант не дорівнює нулю, то систему можна привести до Динамо.

Нехай в довільній точці Про система приведена до сили, яка дорівнює головному вектору. і парі сил з моментом, рівним головному моменту. Оскільки за умовою теореми. то обидва вектори, і. НЕ

дорівнюють нулю і вони не перпендикулярні між собою. Розкладемо головний момент на дві складові: одну направимо по головному вектору і іншу направимо перпендикулярно головному вектору. Складова являє собою момент пари сил, розташованої в площині, перпендикулярній вектору. Виберемо сили і. складові цю пару, рівними по модулю головному вектору і докладемо силу до центру приведення. Система сил (.), Як еквівалентна нулю, може бути відкинута. Так як момент - вектор вільний, то його можна перенести з точки О в точку. Таким чином, задана система сил приведена в точці до сили і пари сил з моментом. розташованої в площині, перпендикулярній силі, тобто ми отримали динамічний гвинт.

З формули (7.6) видно, що позитивного другого інваріанта відповідає правий динамічний гвинт, а негативного другого інваріанта - лівий динамічний гвинт.

Точка не єдина, де система сил приводиться до Динамо. Справді, силу можна переносити вздовж лінії її дії, момент же пари сил є вектор вільний, отже, система сил може бути приведена до Динамо в усіх точках прямої, що проходить через точку і є лінією дії сили. Ця пряма називається центральною віссю системи сил. Знайдемо тепер рівняння центральної осі.

Нехай - точка центральної осі. Тоді для цієї точки головний вектор і головний момент повинні бути колінеарні один одному. На підставі формули (7.2) головний момент для точки можна записати у вигляді

Умова коллинеарности головного вектора і головного моменту для точки записується в такий спосіб:

де - параметр гвинта, що має розмірність довжини.

Нехай і - відповідно проекції головного вектора і головного моменту на осі х. у і z; тоді

Нехай координати будь-якої точки центральної осі будуть х. у. z. отже,

Підставляючи відповідні вирази в співвідношення (7.7), отримаємо

Прирівнюючи коефіцієнти при одиничних вектори. і. маємо