Про властивості позитивно певних матриць, публікація в журналі «молодий вчений»

Нехай безліч комплексних чисел, - декартового добутку, а безліч матриць розміру з комплексними елементами.

Якщо для матриці має місце нерівність при всіх, то матриця називається позитивно визначеним. Якщо виконується умова при всіх ненульових, то матриця називається строго позитивно визначеним.

Якщо матриця є позитивною, то кажуть, що.

Якщо при всіх виконується рівність, то матриця називається ермітової або самосопряженних.

Наведемо деякі факти про позитивно певних матриць.

Пропозиція 1. Матриця є позитивною тоді і тільки тоді, коли вона ермітовим і її всі власні значення невід'ємні. Матриця є строго позитивної тоді і тільки тоді, коли вона ермітовим і її всі власні значення позитивні.

Пропозиція 2. Матриця є позитивною тоді і тільки тоді, коли вона ермітовим і її головні мінори невід'ємні. Матриця є строго позитивної тоді і тільки тоді, коли вона ермітовим і її все головні мінори позитивні.

Пропозиція 3. Матриця є позитивною тоді і тільки тоді, коли існує матриця така, що. Матриця є строго позитивної тоді і тільки тоді, коли матриця не сингулярна.

Пропозиція 4. Матриця є позитивною тоді і тільки тоді, коли існує позитивна матриця така, що. Матриця є строго позитивної тоді і тільки тоді, коли матриця строго позитивна.

Зауважимо, що в Пропозиція 4, матриця є єдиною, і вона називається квадратним коренем матриці і позначається через.

Нехай евклидово простір, т. Е. Лінійне простір зі скалярним добутком.

Теорема 1. Матриця є позитивною тоді і тільки тоді, коли існують елементи такі, що,

.

Матриця є строго позитивної тоді і тільки тоді, коли елементи, лінійно незалежні.

Розглянемо приклад на застосуванні теореми 1.

Приклад 1. Нехай фіксовані речові позитивні числа. Визначимо матрицю розміру з елементами

.

Така матриця називається матрицею Коші. Тоді має місце співвідношення

.

Якщо,, то і при всіх має місце рівність, де для елементів справедливо рівність

.

В силу теореми 1 матриця є позитивною.

Якщо і позитивні ермітовим матриці, то також позитивна ермітова матриця. Твір матриць є ермітовим тоді і тільки тоді, коли і комутативність матриці.

Матриця називається симетричним твором матриць і. Якщо матриці і ермітовим, то також ермітовим. Взагалі кажучи, з позитивності матриць і не завжди випливає позитивність матриці.

Приклад 2. Для будь-яких визначимо ермітовим матриці

, .

Видно, що якщо, то матриця є позитивно визначеною. Для будь-якого елементу має місце рівність

.

Через позначимо аргумент комплексного числа. Тоді має місце рівність. Тому квадратична форма записується у вигляді. Таким чином, при матриця є позитивно визначеною. За визначенням має місце рівність

,

отже, для будь-якого елемента має місце рівність

.

При цьому, якщо близько до нуля, а близько до 1, то матриця не є позитивно. Наприклад, для елемента має місце рівність. Якщо покласти і, то.

Нехай і ермітовим матриці і матриця строго позитивна. Якщо симетрична твір є позитивним (строго позитивним), то матриця також є позитивним (строго позитивним).

Основні терміни (генеруються автоматично). місце рівність, позитивна ермітова матриця, ермітовим матриці, визначених матриць, позитивна матриця, позитивні ермітовим матриці, безліч матриць розміру, головні мінори, симетричним твором матриць, квадратним коренем матриці, власні значення, головні мінори позитивні, комутативність матриці, позитивність матриці, речові позитивні числа, головні мінори невід'ємні, позитивності матриць, Твір матриць, власні значення невід'ємні, власні значення позитивні.