Приклади розрахунку рам

§ 6.15. Приклади РОЗРАХУНКУ РАМ

Приклад 1. Розрахувати симетричну раму, яка є несучою конструкцією двоповерхового фабрично-заводського корпусу, на несиметричну навантаження верхнього ригеля. Жорсткості різних елементів рами різні (рис. 6.76),

Рішення. Основну систему отримуємо, розрізаючи ригелі посередині (рис. 6.77).

Епюри згинальних моментів від дії одиничних Невідомих зусиль зображені на рис. 6.78, а - е. Епюра від навантаження наведена на рис. 6.79; ця епюра настільки проста, що немає потреби розбивати її на симетричну і кососімметрічную.

Завдяки вдалому вибору основної системи ряд побічних переміщень звертається в нуль:

Тому система канонічних рівнянь, що складається з шести рівнянь, розділиться на дві системи;

а) перша система

б) друга система:

Обчислюємо переміщення (збільшені в раз):

Для перевірки підрахованих переміщень будуємо сумарну епюру моментів від одночасної дії всіх одиничних невідомих (рис. 6.80).

Визначаємо вираз множачи епюру на епюру і вираз множачи епюру на епюру

Перевіряємо виконання умови

Отже, переміщення підраховані правильно.

Підставляємо в рівняння значення коефіцієнтів:

Не наводячи тут рішення рівнянь, дамо лише результат:

Докладаємо отримані зусилля до основної системи і обчислюємо згинальні моменти в ній від цих зусиль і навантаження:

Для обчислення згинальних моментів можна застосувати і наступний прийом. Помножимо одиничні епюри (див. Рис. 6.78) на відповідні значення невідомих. Так, все ординати епюри від (див. Рис. 6.78, а) помножимо на ординати епюри від (див. Рис. 6.78, б) - на тоді отримаємо епюри, показані на рис. 6.811. Складемо отримані епюри і додамо до них

епюру від навантаження (див. рис. 6.79). Сумарна епюра і буде остаточною епюр згинальних моментів для заданої статично невизначеної системи. Легко бачити, що моменти в вузлах будуть ті ж, які були знайдені вище:

Остаточна епюра згинальних моментів приведена на рис. 6.82,

Приклад 2. Розрахувати симетричну двопрогінна раму, завантажену горизонтального зосередженого силою (рис. 6.83).

Рішення. Задана рама тричі статично невизначена. Звертаємо її в статично визначену, зображену на рис. 6.84.

Для того щоб отримати одиничні епюри тільки симетричними або кососімметрічнимі, приймемо за невідомі групові сили:

дві горизонтальні сили, розташовані кососімметрічно;

вертикальна сила на середній опорі;

дві горизонтальні сили, розташовані симетрично.

Одиничні епюри наведені на рис. 6.85, а, б, в.

Зовнішня навантаження для зручності обчислень також розбита на симетричну і кососімметрічную (рис. 6.86); в сумі вони дають задану силу в

Для обчислення вантажних переміщень будемо множити епюру від на епюру, наведену на рис. 6.86, б (від кососімметрічной навантаження), а епюри від (як симетричні) на епюру, зображену на рис. 6.86, а.

Тому канонічні рівняння будуть мати такий вигляд:

Обчислюємо переміщення (збільшені в раз):

Після підстановки коефіцієнтів отримаємо канонічні рівняння:

З цих рівнянь отримуємо:

Знаходимо згинальні моменти:

Можна було так само, як і в попередньому прикладі, помножити кожну одиничну епюру на відповідне значення невідомого, а потім отримані епюри скласти і додати до них епюру від навантаження.

Остаточна епюра згинальних моментів приведена на рис. 6.87. Слід зазначити, що рішення даного завдання можна значно спростити за допомогою таких міркувань.

Якщо до заданої статично невизначеній системі замість однієї сили зліва (див.рис. 6.83) докласти дві симетрично розташовані сили, то такі сили ніякого вигину в рамі не викличуть, так як в ній виникнуть лише поздовжні зусилля 2. А так як задана навантаження може бути розкладена на симетричну і кососімметрічную, то остаточна епюра моментів повинна бути в точності такий же, як і від однієї кососімметрічной навантаження. Отже, горизонтальні

тальіие складові опорних реакцій крайніх опор повинні бути спрямовані в одіу сторону та є рівними між собою, а тому можна відразу сказати, що в чому ми переконалися лише після рішення рівнянь.

Далі, симетрична складова навантаження в дійсній рамі повинна у вузла 5 давати вигинає момент, рівний нулю, а тим часом для статично визначної системи по рис. 6.86, а цей момент вийшов рівним Отже, він повинен компенсуватися изгибающим моментом від невідомих сил. З цих сил тільки дають однакові моменти справа і зліва від вузла 5 (рис. 6.86, б, в), тому саме від них моменти в вузлі 5 повинні бути в сумі дорівнюють але так як, то в вузлі 5 момент тільки від однієї сили повинен дорівнювати. Тому

Таким чином, дві невідомі сили ми можемо знайти безпосередньо, а тому нам потрібно було вирішити по суті тільки одне рівняння для яке вимагає обчислення лише переміщень і А.

З цього прикладу видно, що іноді досить складна рама може бути розрахована надзвичайно просто.

Приклад 3. Розрахувати симетричну трипролітних раму моста під шосейну дорогу (рис. 6.88) на вертикальну рівномірне завантаження першого і другого прольотів. Побудувати епюри згинальних моментів, поперечних і поздовжніх сил.

Рішення. Основну статично визначену систему приймемо по рис. 6.89. Епюри згинальних моментів від одиничних невідомих зусиль наведені на рис. 6.90, а - д. Епюри від навантаження, розділеної на симетричну і кососімметрічную, наведені на рис. 6.91, а, б.

З розгляду цих епюр безпосередньо видно, що

Тому система з п'яти канонічних рівнянь (по числу невідомих) розіб'ється на дві системи: з двох і з трьох рівнянь.

В одну систему увійдуть тільки невідомі з симетричними епюрами:

В іншу систему увійдуть тільки невідомі з кососімметрічнимі епюрами: