Приклад 9 доведіть, що середини сторін просторового чотирикутника є вершинами

Приклад 9: Доведіть, що середини сторін просторового чотирикутника є вершинами паралелограма (рис. 10).

Рішення: Доцільно розглядати фігуру з різних сторін: кожні дві пересічні прямі задають площину (аксіома встановлення площини) → трикутник → паралельність і рівність

протилежних сторін паралелограма з властивості середньої лінії трикутника → A1B1C1D1 - паралелограм (за визначенням).

Ефективність навчально-виховного процесу багато в чому залежить від уміння учнів самостійно отримувати і застосовувати знання. Проблема методики формування умінь самостійної роботи учнів є актуальною для кожного викладача математики. Викладання геометрії дає можливість найбільшою мірою розвинути в учнів уміння самостійної роботи, особливо при вирішенні завдань. У учнів необхідно формувати різні способи створення образів і оперування ними.

Завдання на створення геометричних образів використовуються в трьох видах:

створення наочного образу;

зміна креслення, заданого в готовому вигляді, в результаті виконання завдання;

уявне видозміна креслення (по уяві) без зміни його початкового вигляду.

Для того, щоб розвивати в учнів уміння самостійно вирішувати геометричні завдання, необхідно мати дидактичні матеріали (завдання, вправи), в яких би враховувалися особливості створення просторових образів і оперування ними.

Знання вчителем конкретних особливостей створення учнем геометричних образів дозволяє йому успішно проводити корекційну роботу, розвивати просторове мислення учня в потрібному напрямку.

Далі розроблена серія дидактичних завдань на різновиди «створення образу» за кресленням по темі: «Паралельність у просторі». Завдання розбиті за типами уроку: вивчення нового матеріалу; застосування знань, умінь і навичок; перевірка знань, умінь і навичок. Серія завдань містить завдання на переклад словесних даних завдання в графічний образ; виділення істотних ознак геометричних понять; вичленення фігури зі складу креслення; порівняння фігур (перетворення подібності); розгляд фігур креслення з різних точок зору; видозміна просторового положення, структури вихідного образу.

Всі завдання даються в словесному формулюванні для того, щоб виявити в учнів уміння створювати просторовий образ за словесним описом, зрівнювання при цьому вихідні умови створення образу. До кожного завдання вказані застосовувані визначення, ознаки, властивості геометричних понять.

Вивчення теми «Паралельність у просторі» можна розділити на 3 частини:

паралельність прямої і площини;

5.1. Уроки вивчення нового матеріалу

1.01. Зробіть креслення: Пряма MP паралельна площині # 945 ;, а пряма МТ перетинає цю площину в точці Т (рис. 11).

1.02. Зробіть креслення: Площина # 945; перетинає три паралельні прямі a, b і c відповідно в точках А, В і С, що належать одній прямій (рис. 12).

1.03. Зробіть креслення: Площина # 945; перетинає три паралельні прямі a, b і c відповідно в вершинах # 8710; АВС (рис. 13).

1.04. Намалюйте куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 14). 1) Виділіть в ньому ребро ВВ1 і назвіть всі ребра куба: а) паралельні йому; б) перетинають його; в) перехресні з ним. 2) Виділіть діагональ AD1 грані ADA1D1 куба і назвіть діагоналі граней: а) паралельні AD1; б) перетинають її; в) перехресні з нею. Відповідь обґрунтуйте.

2.01. Зробіть креслення: Площина # 945; проходить через середини сторін АВ і АС трикутника АВС і не містить вершини А (рис. 15).

2.02. Зробіть креслення: Пряма MP паралельна площині # 945 ;, а площину РМТ перетинає цю площину по прямій КТ (рис. 16).

2.03. Зробіть креслення: Пряма а паралельна кожній з паралельних площин # 945; і # 946; (Рис. 17).

2.04. Відомо, що пряма m паралельна площині # 945 ;. Паралельна ця пряма будь-якої прямої, що лежить у цій площині # 945; (Рис. 18)? Відповідь обґрунтуйте.

Рішення: Нехай пряма а належить площині # 945 ;. Виберемо на прямій m довільно точку М і проведемо через неї і пряму а площину # 946; (Аксіома встановлення площини). Прямі m і а не перетинаються (за умовою), тоді вони або паралельні (), або схрещуються (). Отже, прямими, паралельними прямий m, будуть тільки ті, за допомогою яких можна задати площину (за участю m).

2.06. Дано дві перехресні прямі а і b (рис. 19). Через кожну точку прямої а проводиться пряма, паралельна прямій b. Доведіть, що всі такі прямі лежать в одній площині. Як розташована ця площину по відношенню до прямої b? Відповідь обґрунтуйте.

Рішення: Нехай m || b. , Тоді m і а задають площину # 945 ;. Візьмемо в площині # 945; пряму з || b. За ознакою паралельності прямих: з || m, тоді вони задають деяку площину # 946 ;. За умовою, значить, вони теж задають площину, яка збігається з # 945 ;. Отже, всі прямі, паралельні b і перетинають а лежать в площині, яка в свою чергу паралельна b (за ознакою паралельності прямої і площини).

2.07. У тетраедра ABCD точки K, F, N і M - середини ребер відповідно AD, BD, BC і AC (рис. 20). Заповніть таблицю, вибравши (обвівши в гурток) певне вами розташування вказаних прямої і площини: А - перетинаються, Б - паралельні, В - пряма лежить в площині, Г - неможливо визначити:

Пряма і площина